1.1.3 集合之间的关系（九大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

1.1.3 集合之间的关系 题型1： 求子集 1．写出下列集合的所有子集： (1)； (2)； (3)． 2．集合的非空子集是 ． 3．写出集合的一个真子集 . 题型2： 子集有关的概念辨析 4．任何一个集合都是它本身的 ；空集是 的子集； 5．有下列命题：①空集是任何集合的真子集；②设，若，则；③.其中，正确的有 .（填序号） 6．下列说法中，正确的有 （1）空集是任何集合的真子集 （2）若，，则 （3）任何一个集合必有两个或两个以上的真子集 （4）若不属于的元素一定不属于，则 7．满足的集合有 个. 8．子集 （1）如果集合的 都是集合中的元素，这是我们说集合包含于，或者集合 集合，记为 . （2）如果，那么我们称集合和集合相等，记为 ． （3）如果，且存在，则称是的真子集，记为 ． （4）在数学中，我们常用韦恩图来表示集合，如图所示的两个集合，它们的关系是 ;可记为 . （5）如果集合中有个不同的元素，则的所有子集的个数为 . 题型3： 判断集合之间的关系 9．是菱形 是平行四边形；是等边三角形} 是等腰三角形 10．用符号“”“”或“”填空： ． 11．以下六个关系式中正确的编号是 ①；②；③；④；⑤；⑥ 12．已知集合，集合，则集合与的关系是 ． 13．给出下列关系式，其中正确的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 14．已知A＝{x|x＝2n，n∈Z)}，B＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}，则集合A，B的关系是 ． 题型4：集合相等及求参数 15．已知，，则M N （ 填“”或“”或“”或“” ）. 16．集合，，且，则实数 ． 17．已知集合，，若，则 ． 18．已知集合，若，则c的值为 . 题型5：空集 19．判断正误 （1）空集没有子集．( ) （2）空集是任何集合的真子集．( ) （3）．( ) 20．已知集合，则实数k的取值范围是 . 21．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型6：根据集合之间的包含关系求参数 22．已知集合，且，则 ． 23．已知集合，，若，则实数的值为 . 24．已知集合，．若，则实数的取值集合为 ． 25．已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 26．集合，，，则实数的取值集合为 . 题型7：求（真）子集的个数 27．集合的子集的个数是 ，真子集个数是 ． 28．集合，且的真子集的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 29．已知集合，，则满足条件的集合C的个数为 ，满足条件B的集合C的个数为 ． 30．已知集合，，则集合B的子集的个数是（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 31．已知集合，则集合的非空真子集的个数为 ． 题型8：根据（真）子集的个数求参数 32．集合，若的子集至多有两个，则实数的取值范围是 ． 33．已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的所有值是 . 题型9：解答题 34．已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 35．集合． (1)若是，求实数的取值范围 (2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由． 36．设集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求的取值范围. 一、填空题 1．设集合，，，则集合的真子集个数为 个. 2．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|mx+1＝0}，若B⊆A，则实数m组成的集合为 ． 3．设集合，集合，若且，则实数 . 4．已知集合若A的子集个数为2，则实数的取值集合为 . 5．已知整数集合，集合A满足条件：①；②若，则．则所有这样的集合A的个数为 ． 6．设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为 . 二、单选题 7．若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 9．已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为 A．508 B．512 C．1020 D．1024 10．对任何非空有限数集，我们定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则的“绝对交错和”为；当时，的“绝对交错和”为.若数集，则的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 11．已知，，集合，，. （1）求使集合的x的值； （2）求使，的a，x的值； （3）求使集合的a，x的值. 12．定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； (1)求集合的生成集B； (2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； (3)若集合，A的生成集为B，求证. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.3 集合之间的关系 题型1： 求子集 1．写出下列集合的所有子集： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据所给集合列出相应子集即可； （2）根据所给集合列出相应子集即可； （3）根据所给集合列出相应子集即可. 【解析】（1）解：由题得所有子集有.. （2）解：由题得所有子集有 （3）解：由题得所有子集有 2．集合的非空子集是 ． 【答案】 【分析】结合子集的概念，写出集合A的所有非空子集即可. 【解析】集合的所有非空子集是. 故答案为：. 3．写出集合的一个真子集 . 【答案】 答案不唯一 【分析】先求出集合的元素，在结合真子集的定义即可. 【解析】由，则，则是其一个真子集. 故答案为： 题型2： 子集有关的概念辨析 4．任何一个集合都是它本身的 ；空集是 的子集； 【答案】 子集 任何一个集合 【分析】略 【解析】略 5．有下列命题：①空集是任何集合的真子集；②设，若，则；③.其中，正确的有 .（填序号） 【答案】②③ 【分析】根据空集不是本身的真子集即可判断①，根据子集的概念即可判断②③. 【解析】解：空集不是空集的真子集，故①错误； 由子集的概念可得，设，若，则，故②正确； 由子集的概念可得，故③正确. 故答案为：②③. 6．下列说法中，正确的有 （1）空集是任何集合的真子集 （2）若，，则 （3）任何一个集合必有两个或两个以上的真子集 （4）若不属于的元素一定不属于，则 【答案】（2）（4） 【分析】根据集合子集、真子集、包含关系可判断（1）（2）（3），画韦恩图可判断（4），进而可得正确答案. 【解析】对于（1）：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故（1）错误； 对于（2）：子集具有传递性，若，，则，故（2）正确； 对于（3）：若一个集合是空集，则它没有真子集，故（3）错误； 对于（4）：任何不属于的元素一定不属于，则由韦恩图可知（4）正确； 故答案为：（2）（4）. 7．满足的集合有 个. 【答案】8 【分析】根据题意依次列举即可得答案. 【解析】解：因为， 所以集合可以为，共8个 故答案为：8 8．子集 （1）如果集合的 都是集合中的元素，这是我们说集合包含于，或者集合 集合，记为 . （2）如果，那么我们称集合和集合相等，记为 ． （3）如果，且存在，则称是的真子集，记为 ． （4）在数学中，我们常用韦恩图来表示集合，如图所示的两个集合，它们的关系是 ;可记为 . （5）如果集合中有个不同的元素，则的所有子集的个数为 . 【答案】 任何一个元素 包含 【解析】略 题型3： 判断集合之间的关系 9．是菱形 是平行四边形；是等边三角形} 是等腰三角形 【答案】 ⫋ ⫋ 【分析】由菱形是特殊的平行四边形，等边三角形是特殊的等腰三角形即可得. 【解析】菱形是特殊的平行四边形；等边三角形是特殊的等腰三角形， 故是菱形⫋是平行四边形，是等边三角形}⫋是等腰三角形． 故答案为：⫋；⫋. 10．用符号“”“”或“”填空： ． 【答案】 【分析】由集合间的关系即可求. 【解析】a为集合的其中一个元素，故. 故答案为：. 11．以下六个关系式中正确的编号是 ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】①③⑤ 【分析】根据元素和集合、集合与集合的关系判断即可. 【解析】对于①：空集是任何集合的子集，故，故①正确； ②，故②错误； ③，故③正确； ④或，故④错误； ⑤，故⑤正确； ⑥空集是任何集合的子集，故，故⑥错误； 故答案为：①③⑤ 12．已知集合，集合，则集合与的关系是 ． 【答案】 【分析】根据集合间的关系，可做出判断. 【解析】解：在数轴上表示出集合A，B，如图所示，易知.    故答案为：. 13．给出下列关系式，其中正确的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】①③④ 【分析】根据元素与集合，集合间的基本关系依次分析判断． 【解析】对于①，由于空集是任何集合的子集，则①正确； 对于②，是集合的元素，根据元素与集合之间的关系可得，故②不正确； 对于③，一个集合是它本身的子集，故③正确； 对于④，集合中元素是集合的元素，则，故④正确； 对于⑤，是集合中的元素，则，故⑤不正确． 故答案为：①③④． 14．已知A＝{x|x＝2n，n∈Z)}，B＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}，则集合A，B的关系是 ． 【答案】相等 【分析】令则，根据集合相等定义即可判断结果． 【解析】令，则 所以 故答案为：相等 题型4：集合相等及求参数 15．已知，，则M N （ 填“”或“”或“”或“” ）. 【答案】 【分析】化简集合即可判断得解. 【解析】因为，， 所以. 故答案为： 16．集合，，且，则实数 ． 【答案】 【分析】根据集合关系，可得，从而可求解. 【解析】由题意得， 则，解得. 故答案为：. 17．已知集合，，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据集合相等的定义求解． 【解析】由题意，解得． 故答案为：2. 18．已知集合，若，则c的值为 . 【答案】 【分析】根据集合，利用元素的互异性分类讨论求解. 【解析】①若，消去b得， 当时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性， 故，，即，此时集合B中的三个元素也相同， ∴舍去，即此时无解． ②若，消去得，同理， ∴，经检验满足题意 故答案为： 题型5：空集 19．判断正误 （1）空集没有子集．( ) （2）空集是任何集合的真子集．( ) （3）．( ) 【答案】 × × × 【解析】（1）空集是任何集合的子集，所以空集可以是本身的子集，故错误； （2）空集是任何非空集合的真子集，故错误； （3）根据集合与集合的关系故符号使用错误. 20．已知集合，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据空集的定义，要使集合，则，解之即可求解. 【解析】∵，∴， 解得，因此实数k的取值范围是. 故答案为：. 21．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误. 【解析】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C 题型6：根据集合之间的包含关系求参数 22．已知集合，且，则 ． 【答案】2 【分析】根据集合自己的概念即可求解． 【解析】∵，且， ∴集合A里面的元素均可在集合B里面找到， ∴a=2． 故答案为：2 23．已知集合，，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由于方程中项含参数，需要对其分两种情况和讨论即可. 【解析】由题意知，当时，，满足题意； 当时，方程的根是，由得：，即或， 解得或， 综上，的值为. 故答案是：. 24．已知集合，．若，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据，得到集合的元素都是集合的元素，即可求得的值. 【解析】由题意，所以或，则或， 所以实数的取值集合为. 故答案为：. 25．已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用建立不等关系，求解即可. 【解析】因为，所以，解得. 故答案为： 26．集合，，，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】先求出，根据，分，，，求出实数的取值集合. 【解析】， 因为，， 当时，，满足， 当时，若，则，解得， 若，则，解得， 综上，实数的取值集合为. 故答案为： 题型7：求（真）子集的个数 27．集合的子集的个数是 ，真子集个数是 ． 【答案】 8 7 【分析】根据集合的子集个数公式和真子集个数公式求解. 【解析】集合由三个元素，所以集合子集的个数是：真子集个数是： 故答案为：8；7 28．集合，且的真子集的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】D 【分析】化简集合，再由真子集个数公式可得. 【解析】由得且，又， 则， 其子集个数共有，除去集合本身， 则其真子集个数为， 故选：D. 29．已知集合，，则满足条件的集合C的个数为 ，满足条件B的集合C的个数为 ． 【答案】 4 3 【分析】分别求出集合A，B，根据集合间的包含关系求出集合C即可. 【解析】解：，解得或，则， 由，可得， 满足条件的集合为或或或，共4个， 满足条件B的集合为或或，共3个， 故答案为：4；3． 30．已知集合，，则集合B的子集的个数是（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】先求出集合B，再根据子集的定义即可求解. 【解析】依题意，所以集合B的子集的个数为， 故选：C. 31．已知集合，则集合的非空真子集的个数为 ． 【答案】 【分析】根据集合子集与真子集的个数的计算方法，即可求解. 【解析】由集合，可得集合中有5个元素， 所以集合的非空真子集的个数为． 故答案为：. 题型8：根据（真）子集的个数求参数 32．集合，若的子集至多有两个，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得中元素最多1个，则分中有且只有一个元素与空集两种情况分类讨论即可． 【解析】解：因为集合表示方程的解的集合，且的子集至多有两个， 所以中元素最多1个， 当中有且只有一个元素时，即或，解得或， 当为空集时，即，解得， 综上可得. 故答案为：． 33．已知集合，若集合有且仅有两个子集，则的所有值是 . 【答案】 【分析】由题意知A需为单元素集合，讨论a的取值，结合判别式即可求得答案. 【解析】当时，，此时A有且仅有两个子集，符合题意； 当时，要使得集合有且仅有两个子集，则A需为单元素集合， 需满足，即， 故的所有值是， 故答案为： 题型9：解答题 34．已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 【答案】(1) (2)62. 【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围； （2）当时，A中共有6个元素，即可求出A的非空真子集的个数； 【解析】（1）， ①若，则，解得； ②若，则，可得. 由可得，解得，此时. 综上所述，实数m的取值范围是. （2），共有个元素， 所以A的非空真子集的个数为． 35．集合． (1)若是，求实数的取值范围 (2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时，对应的两个子集为和；当时，对应的两个子集为和. 【分析】（1）若，对应的方程没有实数根，可求实数的取值范围； （2）要使集合A有且仅有两个子集，集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根，可求实数的值． 【解析】（1）若，方程没有实数根，当时，方程有实数根不合题意；则，二次方程没有实数根，，解得. 所以实数的取值范围为 （2）要使集合A有且仅有两个子集，则集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根， 当时，方程化为，解得，此时，对应的两个子集为和； 当，二次方程只有一个实根，，解得，此时，对应的两个子集为和. 36．设集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)254 (2) 【分析】（1）由题得即可解决.（2）根据得，即可解决. 【解析】（1）由题知，， 当时，共8个元素， 的非空真子集的个数为个； （2）由题知， 显然， 因为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 一、填空题 1．设集合，，，则集合的真子集个数为 个. 【答案】63 【分析】先求出集合C，再根据元素个数即可求出真子集个数. 【解析】当，时，； 当，时，； 当，或时，； 当，时，； 当，或，时，； 当，时，； ，故中元素的个数为个. 集合的真子集个数为个. 故答案为：63. 2．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|mx+1＝0}，若B⊆A，则实数m组成的集合为 ． 【答案】 【分析】解方程求得集合；分别在和两种情况下，根据包含关系构造方程，从而求得结果. 【解析】由题意， 当时，，满足B⊆A 当时，      或，解得：或 实数组成的集合为 故答案为： 3．设集合，集合，若且，则实数 . 【答案】0或或1 【分析】且，关于x的方程的根只能是或，但要注意方程有两个相等根的条件是. 【解析】，且， 或或． 当时， 且， 解得.则； 当时， 且， 解得.则 当时， 有， 解得.则； 所以或或1. 故答案为：0或或1 4．已知集合若A的子集个数为2，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】由子集的个数可以确定方程仅有一个解，分为和即可得结果. 【解析】由题可知关于x的方程只有一个解， 方程变形为， 当时，方程均仅有一个解，满足题意； 当时，方程化为， 由得； 故答案为：． 5．已知整数集合，集合A满足条件：①；②若，则．则所有这样的集合A的个数为 ． 【答案】31 【分析】根据集合，利用韦达定理，可求出集合M，进而根据已知中集合A满足的两个条件，可得互为相反数的两个元素同属于A，或同不属于A，进而得到满足条件的集合A的个数． 【解析】由， 知的整数解，只能是36的约数， 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 故集合 由集合A满足条件：①；②若，则， 即集合中互为相反数的两个元素同属于集合A或同不属于集合A，共有5对相反数， 得这样的非空集合共有个. 故答案为：31 6．设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为 . 【答案】 【分析】对集合中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合的个数，综合可得结果. 【解析】集合中只有个奇数时，则集合的可能情况为：、、、、、，共种， 若集合中只有个奇数时，则集合，只有一种情况， 若集合中只含个偶数，共种情况； 若集合中只含个偶数，则集合可能的情况为、、，共种情况； 若集合中只含个偶数，则集合，只有种情况. 因为是的偶子集，分以下几种情况讨论： 若集合中的元素全为偶数，则满足条件的集合的个数为； 若集合中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共种； 若集合中的元素是个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种. 综上所述，满足条件的集合的个数为. 故答案为：. 二、单选题 7．若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合有7个真子集，由集合中包含3个元素求解. 【解析】解：因为集合有7个真子集， 所以集合中包含3个元素， 所以， 解得. 故选：A 8．若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简集合A,B,C,再结合集合的包含关系判断集合间关系即可. 【解析】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C. 9．已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为 A．508 B．512 C．1020 D．1024 【答案】B 【分析】由集合的子集个数的运算及简单的合情推理可得；这些总和是. 【解析】因为元素在集合S的所有非空子集中分别出现次，则对S的所有非空子集中元素k执行乘以再求和操作,则这些和的总和是. 故选B 【点睛】本题主要考查了集合的子集及子集个数，简单的合情推理，属于中档题. 10．对任何非空有限数集，我们定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则的“绝对交错和”为；当时，的“绝对交错和”为.若数集，则的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出所有非空子集，然后逐个求出“绝对交错和”并求和，即可得到答案. 【解析】 的所有非空子集有：、、、、 、、、、、、 、、、、 若则的“绝对交错和”为；若则的“绝对交错和”为； 若则的“绝对交错和”为；若则的“绝对交错和”为； 若则的“绝对交错和”为；若则的“绝对交错和”为； 若则的“绝对交错和”为；若则的“绝对交错和”为； 若则的“绝对交错和”为；若则的“绝对交错和”为； 若则的“绝对交错和”为；若则的“绝对交错和”为； 若则的“绝对交错和”为； 若则的“绝对交错和”为； 若则的“绝对交错和”为； 的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为： 故选：D 三、解答题 11．已知，，集合，，. （1）求使集合的x的值； （2）求使，的a，x的值； （3）求使集合的a，x的值. 【答案】（1）或（2）或（3）或 【解析】(1)令，解方程即可得出答案； (2)由题意得出，联立求解即可得出答案； (3)由相等集合的概念得出，联立求解即可得出答案. 【解析】(1)由题意得，解得或. (2)∵，，∴ 联立解得时， ，时， . 所以可得满足题意的， 为或. (3)∵，∴有，联立解得或 【点睛】本题考查了由集合之间的关系求参数的问题，考查了相等集合概念的应用，考查了计算能力，属于一般难度的题. 12．定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； (1)求集合的生成集B； (2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； (3)若集合，A的生成集为B，求证. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出； （2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值； （3）求出的范围即可证明出结论 【解析】（1）由题可知， (1)当时， ， (2) 当时，， （3）当或时， 所以 （2）（1）当时，， （2）当时， （3）当或时， B的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或 或 ， 解得或（舍去）, 所以或. （3）证明：， ， ， ，即 ， 又， 所以， 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 学科网（北京）股份有限公司 $$