专题05 函数的表示法与映射-【必考锦集】2021-2022学年高一数学同步考点锦集（北师大版必修1）

专题05函数的表示法与映射 【学习目标】 (1)掌握函数的表示法，能根据对应关系满足的条件，求函数的解析式； (2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； (3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用； (4)了解映射的概念，象与原象的概念，和一一映射的概念． 【考点梳理】 考点一、函数的表示法 1．函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 考点二、映射 1.映射定义： 设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B. 象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象. 【微点拨】 (1)A中的每一个元素都有象，且唯一； (2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a的象记为f(a). 2.如何确定象与原象 对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象. 3.函数与映射的区别与联系： 设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x). 【微点拨】 (1)函数一定是映射，映射不一定是函数； (2)函数三要素：定义域、值域、对应法则； (3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一； (4)原象集合=定义域，值域=象集合. 考点三、关于分段函数应注意的几点 （1）分段函数是一个函数，而不是几个函数． （2）处理分段函数的求值问题时，一定要明确自变量的取值应属于哪一个区间，以免因误用法则造成错误结果． （3）分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域也是各段值域的并集． 考点四、函数解析式的求法 （1）若已知函数的结构形式，可用待定系数法求解． （2）若已知表达式较简单时，可直接用配凑法求解． （3）已知 得解析式，求 的解析式用换元法． 可令 ，反解出 ，即用 表示 ，然后代入 中即求得 ，从而求得 ． 【微点拨】 利用配凑法、换元法求解析式时一定要注意自变量的取值范围为所求函数的定义域． （4）已知 ， 的解析式，求 的解析式，用代入法，只需将 替换 中的 ． （5）方程组法（消去法），适用于自变量有对称规律，如：互为倒数（如 ， ）；互为相反数（如 ， ）的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可． 【典型例题】 类型一、映射与函数 例1．（1）试用列举法表示 内的整数的绝对值； （2）某城市在某一年里各月份毛线的零售量（单位：百千克）如表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 零售量 81 84 45 46 9 5 6 15 94 161 144 123 则零售量是否为月份的函数？为什么？ 【解析】 （1）如下表所示： －3 －2 －1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 （2）是函数，因为对于集合 中任一个值，由表可知 都有唯一确定的值与它对应，所以由它可确定为 是 的函数． 【总结】用列举法表示函数简单明了，也就是通过表格来展示自变量与函数值（因变量）间的对应关系，它能清晰地显示出这个函数的定义域、值域及对应关系． 例2.已知集合 ， ，则从 到 的函数 有 个. 【答案】8 【解析】抓住函数的“取元的任意性，取值的唯一性”，利用列表方法确定函数的个数. 4 4 4 4 5 5 5 5 4 4 5 5 4 4 5 5 4 5 4 5 4 5 4 5 由表可知，这样的函数有8个，故填8. 【总结】函数的定义（特别是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解决某些问题的关键. 例3. 判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射，哪些是从集合A到集合B的函数？ （1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x，y）| }，对应法则是：A中的点与B中的（x，y）对应．