专题08 判断函数奇偶性的方法-备战2022年高考数学之学会解题必备方法技巧规律（全国通用）

· 方法08 判断函数奇偶性的方法 基本原理 方法 解读 适合题型 典例指引 定义法 (1)判断函数的定义域关于原点对称； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系. 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立. 函数解析式较为简单、抽象函数等 例1 图象法 在平面直角坐标系内作出函数f(x)的图象,若图象关于原点对称,则f(x)为奇函数;若图象关于y轴对称,则f(x)为偶函数 函数图象容易确定、分段函数等 例2 温馨提醒 (1)判断函数的奇偶性,应树立“定义域优先原则”.如例2A选项的判断 (2)对于较复杂的解析式,可先对其进行化简,再进行判断,如例2中B选项的判断 典型例题精选与变式 典型例题 自主解析 体会方法 例1【2021陕西省宝鸡市千阳中学适应模拟】已知下面四个函数中：①，②，③，④，是奇函数的是（ ） A． ①② B． ②③ C． ②④ D．②③④ 解：对①，函数的定义域为，关于原点对称，且，故函数为偶函数；对②，恒成立，故函数定义域为，关于原点对称，且，故函数为奇函数；对③，由可解得，即函数定义域为，关于原点对称，且，故函数为奇函数； 对④，函数的定义域为，关于原点对称， 且，故函数为偶函数.综上，②③为奇函数. 故选：B. 【方法】定义法 例2下列函数只能为偶函数的是（ ） A.f(x)＝＋ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D. f(x)= 解：由得x2＝3，解得x＝±，即函数f(x)的定义域为{－，}， 从而f(x)＝＋＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.故A错；由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称. ∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝. 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数.故B错； 显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数. 画出函数f(x)=的图象如图所示,函数图象关于y轴对称,故f(x)为偶函数. 【方法】图象法 最新模拟精选与提高 精选练习 自主解析 体会应用 1．【2021黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学模拟】已知函数（ ） A．是奇函数，单调递增 B．是奇函数，单调递减 C．是偶函数，单调递减 D．是偶函数，单调递增 解：定义域为， 因为，所以为偶函数， 任取，且，则 ， 因为，，所以，所以，所以在单调递增， 故选：D 【方法】定义法 2．【2022江苏省宿迁市沐阳如东中学调研】下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ） A． B． C． D． 解：对于A选项，，该函数为奇函数，但不单调，不满足条件； 对于B选项，令，该函数的定义域为，，函数为奇函数， 由于函数和均为上的增函数，故函数为上的增函数，B选项满足条件；对于C选项，对于函数，有，解得，函数的定义域为，所以，函数为非奇非偶函数，C选项不满足条件；对于D选项，设，该函数的定义域为， ，即函数为偶函数，D选项不满足条件. 故选：B. 【方法】定义法 3.【贵州省毕节市2021届高三三模】设函数，则（ ） A．是偶函数，在上单调递减 B．是奇函数，在上单调递增 C．是偶函数，在上单调递增 D．是奇函数，在上单调递增 解：由得定义域为，关于坐标原点对称.又，为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，故B正确； 当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D错误.故选：B 【方法】定义法 4．【2022届高三数学一轮模拟】已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．函数在上为增函数 B．函数的值域为 C．函数是奇函数 D．函数是偶函数 解：根据题意，函数，其定义域为，有，所以函数是偶函数，则正确，错误， 对于，，不是增函数，错误，对于，， 设，当且仅当时等号成立，则的最小值为2，故，即函数的值域为，，错误，故选：D 【方法】定义法 5．（多选题）【重庆市高考康德卷2021届高三模拟】已知函数，则（ ） A．函数与的图象关于直线对称 B．函数与