热点16 点差法在求解圆锥曲线弦中点问题的处理策略与运用-2022年高考数学核心热点突破（全国通用版）【学科网名师堂】

热点16 点差法在求解圆锥曲线弦中点问题的处理策略与运用 在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 运用一 求弦中点的轨迹方程 例1 已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程. 例2 直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 . 运用二 求曲线方程 例3 已知的三个顶点都在抛物线上，其中，且的重心是抛物线的焦点，求直线的方程. 例4 已知椭圆的一条准线方程是，有一条倾斜角为的直线交椭圆于两点，若的中点为，求椭圆方程. 运用三 求直线的斜率 例5 已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列.（1）求证：；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率. 运用四 确定参数的范围 例6 若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围. 运用五 证明定值问题 例7 已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值. 运用六 处理存在性问题 例8 已知双曲线，过能否作直线，使与双曲线交于，两点，且是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. 在高考中常考的题型和考查方向归纳如下： 考查方向一 以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。 例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。 考查方向二 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。 例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 考查方向三 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 例5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。 考查方向四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题 例6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $热点16 点差法在求解圆锥曲线弦中点问题的处理策略与运用 在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 运用一 求弦中点的轨迹方程 例1 已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程. 解 设弦的两个端点分别为，的中点为. 则，（1），（2） 得：， . 又，. 弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知椭圆内）. 例2 直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 . 解 设，中点，则. ，过定点，. 又，（1），（2） 得：， . 于是，即. 弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知抛物线内）. 运用二 求曲线方程 例3 已知的三个顶点都在抛物线上，其中，且的重心是抛物线的焦点，求直线的方程. 解 由已知抛物线方程得.设的中点为，则三点共线，且，分所成比为，于是， 解得，. 设，则. 又，（1），（2） 得：，. 所在直线方程为，即. 例4 已知椭圆的一条准线方程是，有一条倾斜角为的直线交椭圆于两点，若的中点为，求椭圆方程. 解 设，则，且，（1），（2） 得：，， ，，（3） 又，，（4） 而，（5） 由（3），（4），（5）可得， 所求椭圆方程为. 运用三 求直线的斜率 例5 已知椭圆上不同的三点与焦点的距离成等差数列.（1）求证：；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率. （1）证 略. （2）解 ，设线段的中点为. 又在椭圆上，，（1），（2） 得：， . 直线的斜率，直线的方程为. 令，得，即，直线的斜率. 运用四 确定参数的范围 例6 若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围. 解 当时，显然满足. 当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为，且的中点为，则，（1），（2） 得：，， 又，. 中点在直线上，，于是. 中点在抛物线区域内 ，即，解得. 综