热点15 函数的零点问题处理策略与解题技巧-2022年高考数学核心热点突破（全国通用版）【学科网名师堂】

热点15 函数的零点问题处理策略与解题技巧 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕函数零点个数的判断问题，例题说法，高效训练. 【规律与方法】 函数零点个数的求解与判断： (1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． (4)构造函数模型，判断零点个数.构造函数可根据题目不同，直接做差构造函数、分离参数后构造函数、先求导数再构造函数、先换元再构造函数等. 可以大致归纳为如下四种类型，便于读者掌握。 类型一 应用函数性质，判定函数零点个数 例1．已知函数在上有零点，函数．当时，函数的最大值与最小值的差为2，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求导，判断函数函数在上的单调性，利用零点的存在性定理即可求得a的范围；函数．当时，求得，然后分，，，四种情况讨论函数函数的最大值与最小值，从而求得a的范围，最后取交集即可得解. 【详解】 解：，当时，，故函数在上递减， 又因函数在上有零点，所以，解得. 当时，，当时，， 则函数的最大值，最小值， 则，符合题意，所以； 当时，，则函数的最大值，最小值， 则，符合题意，所以； 当时，，则函数的最大值，最小值， 则，解得则，（舍去）； 当时，，则函数的最大值，最小值， 则，解得，（舍去）， 所以函数．当时，函数的最大值与最小值的差为2，或， 综上所述，.故选：C. 类型二 数形结合，判定函数零点个数 例2已知函数，，当，且时，方程根的个数一定不少于（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】 先证明函数，都为偶函数，再利用导数讨论在上的单调性，然后作出两函数的部分图象，根据图象可得两函数在上的交点个数，再利用偶函数的对称性可得结果. 【详解】 因为定义域为， 又，所以为偶函数. 同理可证函数为偶函数， 当时，单调递减， 又， 所以时，；时，； 时，；时，； 时，；时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减． 又，，，，， 则与的图象在上有1个交点； 作出图象后可以发现与的图象在上至少有6个交点， 根据对称性可知，二者图象在上至少6个交点，故当，且时，方程根的个数不小于12．故选D． 类型三 应用零点存在性定理，判定函数零点个数 例3 已知二次函数，对任意实数，不等式恒成立. （1）求的值； （2）若该二次函数有两个不同零点、. ①求a的取值范围； ②证明：为定值. 【答案】（1）2；（2）①；②证明见解析. 【分析】（1）根据题意，令，代入不等式即可解得； （2）①根据，可知，由可以判定a,c之间的关系，进而根据函数有两个零点，通过即可解出a的范围； ②由根与系数的关系即可证明. 【详解】（1）因为，满足，令， 令，得，故； （2）①因为，所以恒成立，由（1），所以， 所以. 因为函数有两个不同的零点，所以，因为， 所以.②由根与系数的关系可得，，即为定值. 类型四 构造函数，判定函数零点个数 例4已知常数，定义在上的函数． （1）当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有x的值； （2）当时，设集合，，若，求实数m的取值范围； （3）已知常数，，且函数在）内恰有2021个零点，求常数a及n的值． 【答案】（1）3，；（2）；（3），． 【分析】 （1）利用二倍角公式化简函数解析式，利用二次函数的性质及正弦函数的性质求解即可； （2）令，则，开口向下，所以需满足，解不等式组即可求出结果； （3）分析单周期中零点的个数，以及多周期中零点的临界值进行求解. 【详解】（1）当时，，令，则，开口向下且对称轴为，，即时，，此时； （2）当时，，因为，则，因为，则， 令 令，则，开口向下，所以需满足，解得， 故实数m的取值范围为； （3）， 令，则，所以，，所以有两个不同得实数根，又由韦达定理得，所以两根异号， ①当一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0且小于1，方程有偶数个根，不符合题意； ②当两根绝对值均在之间，，在区间上均有偶数根，不合题意； ③当时，若，，即，，即或，所