第03讲 圆与圆的位置关系-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

第1章 直线与方程 第01讲 直线的斜率与倾斜角 课程标准 重难点 1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想. 1.根据圆与圆的位置关系确定两者之间的公切线个数 2.公共弦方程 知识点一　圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为相离、外切、相交、内切、内含． 2．圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1、r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D－4F1>0)，＋E C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D－4F2>0)，＋E 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 3.【概念解读】 几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判定方法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判定方法一样，能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判定两圆的位置关系问题． 考法01 圆与圆的位置关系 设直线 过原点，其倾斜角为 ，将直线 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线 ，则直线 1的倾斜角为 【答案】当0°≤ ＜135°时，为 +45°，当135°≤ ＜180°时，为 －135° 【解析】倾斜角的范围是[0°，180°），因此，只有当 +45°∈[0°，180°），即当0°≤ ＜135°时， 的倾斜角才是 +45°，而当135°≤ ＜180°时， 的倾斜角为 －135°．故应选D． 【跟踪训练】 1．如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是_________________． 【答案】(－2 ，0)∪(0,2 ) 【解析】圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4， 圆心坐标为(a，a)，半径为2. 依题意得0＜ ＜4， ∴0＜|a|＜2 .∴a∈(－2 ，0)∪(0,2 )． 2．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0. (1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切？ (3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 【解析】因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11， (x－5)2＋(y－6)2＝61－m， 所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为 ， ， (1)当两圆外切时，由 ＝ ＋ ，得m＝25＋10 . (2)当两圆内切时，因为定圆半径 小于两圆圆心之间的距离5，所以 － ＝5，解得m＝25－10 . (3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0. 故两圆的公共弦的长为 2 . 【方法总结】 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 题组A 基础过关练 1．若圆 与圆 相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段 的长是（ ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【解析】由题意作出图形分析得： 由圆的几何性质知：当两圆在点A处的切线互相垂直时，切线分别过对方圆心 、 ， 则在 中， ， ，所以 ， 斜边上的高为半弦，且 ， 则 ，即 ，所以 . 故选：C. 2．圆 和圆 的公共弦 的垂直平分线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆 的圆心 ， 圆 的圆心 ， 所以 的中点坐标为 ， ，即 ， 所以两圆的公共弦 的垂直平分线即是圆心 所在的直线： ，即 ， 故选： ． 3．圆 和圆 的位置关系为（ ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】C 【解析】因为圆 的方程为 ，所以圆心 ，半径 ， 因为圆 的方程为 ，所以圆心 ，半径 ， 所以 . 因为 ，所以圆 和圆 外