第02讲 直线与圆的位置关系-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

第2章 圆与方程 第02讲 直线与圆的位置关系 课程标准 重难点 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系． 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想. 1.根据直线与圆的位置关系，弦长，半径，圆心到直线的距离三者中根据两个确定第三个 知识点一　直线与圆的位置关系 1．直线与圆有三种位置关系 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 2．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 3.【疑难解读】 判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何法则较 简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法． 考法01 直线的倾斜角 已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系． 【解析】(法一：代数法) 由方程组 消去y后整理，得5x2－50x＋61＝0. ∵Δ＝(－50)2－4×5×61＝1 280＞0， ∴该方程组有两组不同的实数解，即直线l与圆C相交． (法二：几何法) 圆心(7,1)到直线l的距离为d＝.＝2 ∵d＜r＝6，∴直线l与圆C相交． 【跟踪训练】 1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是 (　　) A．相交　　　　　　　　　 B．相离 C．相交或相切 D．相切 【答案】C 【解析】直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0)，而(－1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交． 2．已知点(a，b)在圆Cx2＋y2＝r2(r≠0)的外部，则直线ax＋by＝r2与C的位置关系是(　　) A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 【答案】C 【解析】由已知a2＋b2＞r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝，则d＜r，故直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是相交. 【方法总结】 判断直线与圆位置关系的方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．　　　　 1.知识体系 题组A 基础过关练 1．圆C： 被直线 截得的最短弦长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线 过定点 ，圆心 ，当直线 与弦垂直时，弦长最短， ，所以最短弦长为 ，故选：B． 2．已知直线y=x与圆O∶x2+y2=9交于A， B两点，则 （ ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】A 【解析】圆O∶x2+y2=9圆心为原点，半径为3， 圆心在直线y=x上， 所以A， B两点的距离等于直径的长， 即 ，故选：A. 3．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（ ） A．13米 B．14米 C．15米 D．16米 【答案】D 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， 设圆的方程为： ，代入 ，则有 ， 故圆的方程为： ， 令 ，则 ，故 ， 故选：D. 4．直线 与圆 交于 、 两点，则 （ ） A．2 B． C．6 D． 【答案】B 【解析】圆 的标准方程为： ，故 ，且圆的半径为 ， 圆心 到直线 的距离为 ，故 ，故选：B. 5．在平面直角坐标系 中，直线 与圆 相切，则直线 的方程可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为圆 的圆心为 ，半径为 ； 对于A，圆心到直线的距离 ，正确； 对于B，圆心到直线的距离 ，不正确； 对于C，圆心到直线的距离 ，正确； 对于D，圆心到直线的距离 ，正确； 故选：ACD. 6．若直线 被圆 截得的弦长为 ，则 可能的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】AD 【解析】因为直线 被圆 截得的弦长为 ，所以圆心到直线的距离为 ，即 ，解得 或 .故选：AD. 7．直线 与圆 交于A、B两点，则 ____________ 【答案】 【解析】圆 的圆心为原点，半径为2. 由题得圆心 到直线的距离为 ， 所以 .故答案为： 8．已知直线 与圆 相交于 两点， 且圆心 到直线 的距离为 ，则圆 的半径为___________. 【答案】3 【解析】如图，取弦AB的中点D，连接CD，则有CD⊥AB，CD=2， 在 中， ， 所以圆 的半径为3.故答案为