第01讲 圆的方程（解析版）-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

第2章 圆与方程 第01讲 圆的方程 课程标准 重难点 1.掌握圆的定义及标准方程； 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程． 3.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小； 4.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程． 1.圆的标准方程与一般方程的转化 2.圆成立的条件 知识点一　圆的标准方程 1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 2.圆的要素：确定圆的要素是圆心和半径，如图所示． 3.圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆． 【疑难解读】 （1）由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点． （2）几种特殊位置的圆的标准方程： 条件 圆的标准方程 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0) 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r≠0) 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r≠0) 圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0) 圆心在y轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) 知识点二　点与圆的位置关系 1.圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 │MA│＝r⇔点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 │MA│<r⇔点M在圆A内 点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点在圆外 │MA│>r⇔点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 2.【概念解读】（1）点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外． （2）判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法． 知识点三　圆的一般方程 1.圆的一般方程的概念： 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2.圆的一般方程对应的圆心和半径： 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－. )，半径长为，－ 【概念解读】 （1）圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点： ①x2、y2的系数相等且不为0；②没有xy项． （2）对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明： 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点(－)，－ D2＋E2－4F>0 表示以(－为半径的圆)为圆心，以，－ 考法01 求圆的标准方程 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程． 【解析】(法一：待定系数法) 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则有解得 ∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. (法二：几何法) 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴由得 即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝＝5. ∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 【跟踪训练】 1.以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25 2.与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________． 3.过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是________________． 【答案】(1)D；(2)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25；(3)(x－1)2＋(y－1)2＝4 【解析】(1)∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心， 半径为＝5，|AB|＝ ∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25. (2)∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. (3)方法一　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)