专题02 集合的基本关系及运算-【必考锦集】2021-2022学年高一数学同步考点锦集（北师大版必修1）

专题02集合的基本关系及运算 【学习目标】 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义． 2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 【考点梳理】 考点一：集合之间的关系 1.集合与集合之间的“包含”关系 集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A； 子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作： ，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系： 【微点拨】 （1）“ 是 的子集”的含义是： 的任何一个元素都是 的元素，即由任意的 ，能推出 ． （2）当 不是 的子集时，我们记作“ (或 )”，读作：“ 不包含于 ”（或“ 不包含 ”）． 真子集：若集合 ，存在元素x B且 ，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作：AB(或BA) 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系 ，则A与B中的元素是一样的，因此A=B 【微点拨】任何一个集合是它本身的子集，记作 ． 考点二：集合的运算 1.并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|x A，或x B} Venn图表示： 【微点拨】（1）“x A，或x B”包含三种情况：“ ”；“ ”；“ ”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次). 2.交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|x A，且x B}；交集的Venn图表示： 【微点拨】（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是 ． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合. 3.补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作： EMBED Equation.DSMT4 ,即补集的Venn图表示： 【微点拨】（1）理解补集概念时，应注意补集 是对给定的集合和 相对而言的一个概念，一个确定的集合 ，对于不同的集合U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则 为全集；而当问题扩展到实数集时，则 为全集，这时 就不是全集． （3） 表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如 ）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即 ）． 4.集合基本运算的一些结论： ， 若A∩B=A，则 ，反之也成立 若A∪B=B，则 ，反之也成立 若x (A∩B)，则x A且x B 若x (A∪B)，则x A，或x B 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】 类型一：集合间的关系 例1. 请判断①0{0} ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ，正确的有哪些？ 【答案】②③④⑧ 【解析】①错误，因为0是集合 中的元素，应是 ；②③中都是元素与集合的关系，正确；④⑧正确，因为 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，而④中的 为非空集合；⑤⑥⑦错误， 是没有任何元素的集合． 【总结】集合的符号语言十分简洁，因而被广泛用于现代数学之中，但往往容易混淆，其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系，突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义. 例2. 集合 ，集合 ，那么 间的关系是（ ）. A. B. C. = D.以上都不对 【答案】B 【解析】先用列举法表示集合 、 ，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合 是非负偶数集，即 .集合 中的元素 .而 （ 为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即 .由 依次得0,2,6,12， ，即 . 综上知， ，应选