《志鸿全优设计》2013-2014学年高中数学北师大版必修一目标导学：第四章 函数应用（7份，含解析）

§2　实际问题的函数建模 问题导学 一、二次函数模型的应用 活动与探究1 某租赁公司出租同一型号的设备40套，当每套月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，每套月租金每增加10元，就少租出1套设备，而未租出的设备每月需支付各种费用每套20元．设每套设备实际月租金为x元(x≥270元)，月收益为y元(总收益＝设备租金收入－未租出设备费用)． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，月收益最大？最大值是多少？ 迁移与应用 某旅游公司的最大接待量为1 000人，为保证公司正常运作，实际的接待量x要小于1 000，留出适当的空闲量(如：当接待量为800人时，则空闲量为200人)，空闲量与最大接待量的比值叫作空闲率．已知该公司4月份接待游客的月增加量y(人)和实际接待量x(人)与空闲率的乘积成正比．(设比例系数k＞0) (1)写出y关于x的函数关系式，并指出定义域； (2)当k＝时，求4月份游客日增加量的最大值． 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题列出二次函数解析式后，通常可利用配方法求出其最值，但应注意函数自变量的取值范围，即应在函数定义域的前提下求最值． 二、分段函数模型 活动与探究2 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线． (1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)； (2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间． 迁移与应用 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收益满足函数： R(x)＝其中x是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数f(x)． (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 分段函数模型应用的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．需注意分段函数的最值，是各区间上解析式所得最值的最大者或最小者． 三、指数函数模型的应用 活动与探究3 有一种放射性元素，因放出射线，其质量在不断减少，经测算，每年衰减的百分率相同．若该元素最初的质量为50 g，经过一年后质量变为40 g. (1)设x(x≥0)年后，这种放射性元素的质量为y g，写出y关于x的表达式． (2)求经过多长时间，这种放射性元素的质量变为原来的一半？(精确到0.1年，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 迁移与应用 某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%. (1)写出水中杂质含量y与过滤的次数x之间的函数关系式； (2)要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤几次？(参考数据：lg 2＝0.301 0) 实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型来表示，在建立函数模型时，注意用列举、归纳等方法来探求内在的规律． 四、对数函数模型的应用 活动与探究4 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000 m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数y＝，单位是m/s，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数． log3 (1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是多少？ (2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数； (3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由． 迁移与应用 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量． (1)燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[来源:学科网ZXXK] 有关对数函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据所求值回答其实际意义． 当堂检测 1．一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是(　　)． A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 2．某研究小组在一项实验中获得一组数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是(　　)． A．y＝2t B．y＝2t2 C．y＝t3 D．y＝log2t 3．在一次数学实验中，采集到如下一组数据： x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.9