第四章章末整合提升-2020-2021学年高中数学必修1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

题型一　函数的零点与方程的根 由于函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴的交点之间有着内在的本质的联系，所以，函数问题可转化为方程问题，方程问题可转化为函数问题解决.根据函数的性质和方程根的存在条件，我们常借助不等式来求解相关的问题，其间，要善于结合函数图像，从中体会数形结合的作用. 确定函数的零点所在的大致区间时，可以从形与数两个方面共同考虑.先根据函数的图像，得到函数零点所在的大致区间，再验证区间端点处的函数值是否反号，这要求函数的图像要较准确. 　已知函数f(x)＝x－1＋x2－2，试利用基本初等函数的图像判断f(x)有几个零点，并利用判断区间内是否有零点的方法确定各零点所在的范围(各区间长度不超过1). 【解析】　由f(x)＝0，得x－1＝－x2＋2.令y1＝x－1，y2＝－x2＋2，在同一直角坐标系中画出它们的图像，如图所示.由图可知，它们有3个交点，因此，函数f(x)＝x－1＋x2－2有3个零点. 由f(x)知x≠0，f(x)图像在(－∞，0)，(0，＋∞)上分别是连续曲线. 因为f(－3)＝(－3)－1＋×(－3)2－2＝>0，f(－2)＝(－2)－1＋×(－2)2－2＝－<0，f＝＋×－2＝>0，f(1)＝1－1＋×12－2＝－<0，f(2)＝2－1＋×22－2＝>0，即f(－3)·f(－2)<0，f·f(1)<0，f(1)·f(2)<0，所以函数f(x)＝x－1＋x2－2的3个零点分别在区间(－3，－2)，，(1，2)内. 题型二　函数建模及函数模型的应用 建模思想就是建立数学模型解决实际应用问题.函数是重要的数学模型，不同的函数模型能够刻画现实世界中不同的变化规律.因此，不同的问题需选择适当的函数模型来描述.在初中学过的一次函数、二次函数以及现在学习的指数函数、对数函数和幂函数都是常用的描述现实世界中不同增长规律的函数类型.函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题，另一方面是建立适当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测.因此，应切实掌握建立函数模型，解决实际问题的基本过程.实际应用题层出不穷，并且向跨学科知识渗透，像有关环境问题、经济问题已成为热点，还有经典的成本最低问题、效率最大问题等也都是极为重要的考点. 1.一次函数模型的应用 一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般我们可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理. 2.二次函数模型的应用 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最省等问题. 3.指数函数模型的应用 实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型来表示，在建立函数模型时注意用列举、归纳等方法来探求内在的规律. 4.对数函数模型的应用 直接以对数函数为模型的应用问题不是很多，此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解. 5.拟合函数模型的应用 函数关系不确定时，应按函数拟合的一般步骤，建立拟合函数模型.一般是先由已知数据画出散点图，再根据图的特点选择一个函数进行拟合、验证，然后修正确立拟合函数模型，最后运用此模型解决问题. 　某渔场鱼群的最大养殖量为8吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量x要小于8，留出适当的空闲量，空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率.已知鱼群的年增加量y(单位：吨)和实际养殖量x(单位：吨)与空间率的乘积成正比(设比例系数k>0). (1)写出y与x的函数关系式，并指出定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值； (3)当鱼群年增长量达到最大值时，求k的取值范围. 【解析】　(1)已知实际养殖量为x吨，年增长量为y吨，则空闲量为(8－x)吨，空闲率为， 由此可以建立目标函数 y＝k·x·＝－x2＋kx(k>0). 所以y与x的函数关系式为y＝－x2＋kx(k>0)， 定义域为(0，8). (2)y＝－x2＋kx＝－(x－4)2＋2k. 因为x∈(0，8)，所以当x＝4时，y有最大值2k. 即当实际养殖量为4吨时，鱼群的年增长量达到最大值，为2k吨. (3)由题意得0<2k＋4<8，解得－2<k<2， 又k>0，于是0<k<2. 所以k的取值范围是(0，2). 　某同学在这次学校运动会时不慎受伤，校医给他开了一些消炎药，要求他每天定时服一片.现知该药片含药量为200 mg，他的肾脏每天可从体内滤出这种药的60%，问：经过多少天，该同学所服的第一片药在他体内的残留量不超过10 mg？(参考数据：lg 2＝0.301 0) 【解析】　设经过n天，该同学所服的第一片药在他体内的残留量不超过10 mg， 则200(1－60%)n≤10.所以≤， n≥＝≈≈3.27. 综