精品解析：上海市建平中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题

建平中学高二期中数学试卷 一．填空题 1. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 2. 从、、、、五个字母中任选三个，共有________种不同的选法（结果用数字作答） 3. 不等式的解集为________． 4. A、是半径为的球面上两点，设是球心，且△是等腰直角三角形，则A、的球面距离为________ 5. 用1、2、3三个数字能组成不同三位数个数是________（结果用数字作答） 6. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，为底面弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为________ 7. 从四棱锥的5个顶点中任选4个不同的点，则这四点能够构成不同三棱锥的个数是________（结果用数字作答） 8. 长方体中，，，则二面角的大小为________（结果用反三角函数表示） 9. 在3个不同的红球中任取2个，在3个不同的白球中任取1个，把所取出的3个球排成一列，要求2个红球必须相邻，则不同的排列个数为________个（用数字作答） 10. 设，是2，3，4，5，6，7的一个排列，则的最小值是_____． 11. 正方体中，是线段上的一个动点，则直线与平面所成角的范围是________（结果用反三角函数表示） 12. 已知等差数列满足：，则正整数的最大值为________ 二．选择题 13. 组合数恒等于（ ） A. B. C. D. 14. 记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有（ ） A. 960种 B. 720种 C. 480种 D. 240种 15. 以下关于多面体的命题种，真命题为（ ） A. 所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥 B. 所有侧面均为正方形的四棱柱是正四棱柱 C. 所有侧面均为正三角形的多面体是正四面体 D. 所有侧面均为正方形的多面体是正方体 16. 已知函数在定义域上单调，且均有，则的值为（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. 三．解答题 17. 在四棱锥中，底面是正方形，平面，，． （1）分别取侧棱、中点、，证明：直线与平面平行； （2）求四棱锥表面积． 18. 设函数是定义域为的奇函数． （1）求实数的值； （2）若，且对任意恒成立，求实数的取值范围． 19. 设正三棱柱的底面边长和高均为1． （1）求点与平面之间的距离； （2）设是棱的中点，求证：． 20. 已知双曲线（，）左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦和所在直线分别平行于轴与轴，线段的延长线与线段相交于点（如图）． （1）若是双曲线 一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的方程； （2）若，，，，试求双曲线的方程； （3）在（1）的条件下，且，点与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点和，试问：是否存在定点，使得恒成立？若是，请求出定点的坐标，若不是，试说明理由． 21. 已知完全封闭且内部中空的圆柱底面的半径为，母线长为． （1）当，时，在圆柱内放一个半径为1的实心球，求圆柱内空余部分的体积；（结果用精确值表示） （2）如图，当，时，平面与圆柱底面所成锐二面角为45°，且平面只与圆柱侧面相交，设平面与圆柱侧面相交的轨迹为曲线，半径为1的两个球分别在圆柱内平面上下两侧且分别与平面相切于点、，若以点、所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，求证：曲线是椭圆并写出椭圆标准方程； （3）在（1）条件下，在圆柱内部空余的地方放入和实心球、侧面及相应底面均相切的半径为的同样大小的小球个，当取得最大值时，求的值．（结果用数字表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平中学高二期中数学试卷 一．填空题 1. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 【答案】2 【解析】 【详解】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线距离是2. 2. 从、、、、五个字母中任选三个，共有________种不同的选法（结果用数字作答） 【答案】10 【解析】 【分析】直接利用组合公式求解即可 【详解】解：从、、、、五个字母中任选三个，共有种不同的选法， 故答案为：10 3. 不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题设可得，利用分式不等式的解法求解即可. 【详解】由题设，， ∴，解得， ∴解集为. 故答案为： 4. A、是半径为的球面上两点，设是球心，且△是等腰直角三角形，则A、的球面距离为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据是等腰直角三角形，求出，再利用弧长公式，求出、的球面距离． 【详解】解：是等腰直角三角形，， 、的球面距离为， 故答案为：． 5. 用1、2、3三个数字能组成不同三位数的个数是________（