专题1.1 集合及集合的表示方法-《讲亮点》2021-2022学年高一数学新教材同步配套讲练（沪教版2020必修第一册）

专题1.1 集合及集合的表示方法 知识梳理 一、集合与元素的概念： 一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合，简称集。集合中每一个对 象称为该集合的元素。如所有的三角形可以组成集合，每个三角形都是这个集合的元素；所有的直角三角形也可以组成集合，每个直角三角形都是集合的元素；由1，2，3，4组成的集合｛1，2，3，4｝。1，2，3，4就是这个集合的元素 。类似“与2非常接近的全体实数”，“高个子”这样模糊的说法就不能确定集合。 二、集合中元素的特性： 1、确定性：设A是一个给定的集合，x是某一具体的对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，二者必居其一，不能模棱两可． 2、互异性： 对于一个给定的集合，它的任意两个元素是不能相同的。集合中相同的元素只能算是一个。如方程x2-2x+1=0有两个重根x1=x2=1，其解集只能记为{1}，而不能记为{1,1}。 3、无序性：集合中的元素是不分顺序的．如{b,a}和{a,b}表示同一个集合． 三、元素与集合的关系： 一般地，如果a是集合A的元素，就说a属于a，记作a∈A；如果a不是集合的元素，就说a不属于A，记作a∉A。 四、集合的分类： 一、按照集合中元素的个数是有限还是无限，集合可分为：有限集和无限集。 （1）有限集：含有有限个元素的集合； （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：特别地，不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．空集是个特殊的集合，空集归入 有限集。如：{x∈R|x2+1=0}. 二、按照集合中元素的形式，性质及属性，集合可分为： （1）单元素集：只含一个元素的集合；如{0}，{∅}。 （2）数集：有一些数字组成的集合； （3）点集：由符合某一条件的点（x,y），组成的集合 ；{(x,y)|y=2x+1} （4）解集：由方程或方程组，不等式或不等式组的解组成的解的集合，简称解集。如：方程x2-x-2=0的解集是：{-1,2}。 5、 常用数集的关系及记法 六：集合的表示方法 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。如，{-1，1} （2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。例如：{x∈R|x-3＞2}或{x|x-3＞2}。 （3）韦恩图法：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。如：集合{1,2,3,4}可用韦恩图表示为： 1 2 3 4 题型研究 一、对集合的理解 例1　(1)考察下列每组对象，能构成集合的是(　　) ①中国各地的美丽乡村； ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于3的自然数； ④截止到2019年1月1日，参加一带一路的国家． A． ③④ B．②③④ C．②③ D．②④ (2)下列说法中，正确的有______．(填序号) ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合． 二、元素与集合的关系 例2　下列关系中正确的个数为(　　) ①∈Q；②－1∉N；③π∉R；④|－4|∈Z. A．1 B．2 C．3 D．4 跟踪训练1　给出下列说法： ①R中最小的元素是0； ②若a∈Z，则－a∉Z； ③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q. 其中正确的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 三、元素特性的应用 例3　已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值． 延伸探究 若将“－3∈A”换成“a∈A”，求实数a的值． 跟踪训练2　已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝________. 四、列举法表示集合 例1　用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合； (3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合； (4)由所有正整数构成的集合． 跟踪训练1　用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B； (3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D. 五、描述法表示集合 例2　用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 跟踪训练2　下列三个集合： ①A＝{x|y＝x2＋1}； ②B＝{y|y＝x2＋1}； ③C＝{(x，y)|y＝