专题02 圆与方程（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版）

专题02 圆与方程 一、考情分析 二、考点梳理 1．圆的方程 (1)圆的方程 ①标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心坐标为(a，b)，半径为r. ②一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心坐标为，半径r＝. (2)点与圆的位置关系 ①几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：d>r⇔点在圆外，d＝r⇔点在圆上；d<r⇔点在圆内． ②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r2(或0)作比较，大于r2(或0)时，点在圆外；等于r2(或0)时，点在圆上；小于r2(或0)时，点在圆内． 2．直线与圆的位置关系 直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表. 方法位置关系 几何法：根据d＝与r的大小关系　 代数法： 消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号 相交 d<r Δ>0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d>r Δ<0 3．圆与圆的位置关系 表现形式 位置关系 几何表现：圆心距d与r1、r2的关系 代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况 相离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 三、题型突破 重难点1 圆的方程 求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法． （1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． （2）由于圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 例1．（1）（2020黑龙江黑河一中高二期中）已知A(3，－2)，B(－5,4)，则以AB为直径的圆的方程是(　　) A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25 C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100 【答案】B 【解析】由题意可得圆心为（-1，1），半径为，由圆心和半径可得圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝25，选B. （2）．（2020福建莆田一中高二月考）过点，且圆心在直线上的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线上，排除B、D， 点在圆上，排除A，故选C. （3）．（2021·河南许昌市·高一期末）以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据题中条件，得到圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】 以点为圆心且与轴相切的圆的半径为， 故圆的标准方程是. 故选：C. （4）．（2020·湖北）以，两点为直径端点的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先求出线段中点坐标即为圆心，再求出即为直径，即可得出圆的方程. 【详解】 可知线段的中点坐标为，即为， ， 以，两点为直径端点的圆的圆心为，半径为5， 则方程为. 故选：D. 【点睛】 本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题. 【变式训练1】．（1）（2020·全国高二课时练习）圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 将圆的一般方程配方得圆的标准方程. 【详解】 将配方得标准方程为． 故选：C. 【点睛】 本题考查将圆的一般方程配方得圆的标准方程，属于基础题. （2）．（2020·全国高二课时练习）过点的圆C与直线相切于点，则圆C的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求出直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为求出过点B的直径所在直线方程的斜率，求出此直线方程,根据直线方程设出圆心 C 坐标，根据，利用两点间的距离公式列出方程，求出方程的解确定出 C 坐标，进而确定出半径，写出圆的方程即可. 【详解】 解：直线的斜率为1， 过点B的圆的直径所在直线的斜率为. ， 此直线方程为，即. 设圆心C的坐标为， ， 即， 解得，圆心C坐标为，半径为. 圆C的方程为. 故选：D. 【点睛】 此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：两点间的距离公式，两直线垂直时斜率满足的关系，求出圆心坐标与半径是解本题的关键. 例 2．（2021·全