专题01 直线与方程（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版）

专题01 直线与方程 一、考情分析 二、考点梳理 一、直线的倾斜角 1．直线的确定 在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可. 2．直线倾斜角的概念 当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 【倾斜角与倾斜程度】 平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度. 3．倾斜角的取值范围 当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围是 . 如下图：的倾斜角为0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角. 二、直线的斜率 1．斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即. 【特别提醒】：倾斜角是90°的直线没有斜率. 2．斜率与倾斜角之间的关系 ①当直线的倾斜角α=0°时，斜率k=0，直线与x轴 ； ②当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着 ； ③当α=90°时，斜率k (此时直线是存在的，直线与x轴垂直）； ④当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角也随着 . 3．直线的倾斜程度 （1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用 表示直线的倾斜程度. （2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度. 三、过两点的直线的斜率公式 1．公式 经过两点的直线的斜率公式为 . 【名师提醒】 （1）当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况. （2）斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换. （3）当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时. 三、直线方程的五种形式 1、直线的点斜式方程 已知直线l经过点，且斜率为k，则直线l的方程为 . 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的 ，简称 . （1）.当直线l的倾斜角为0°时(如图1)，,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是,或. （2）.当直线l的倾斜角为90°时(如图2)，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是,或. 【名师提醒】 （1）当直线的斜率存在时，才能用直线的点斜式方程. （2）当取任意实数时，方程表示过定点的无数条直线. 2、直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的 . 如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为，即 叫做直线的 ，简称 . ①当b=0时，表示过原点的直线；②当k=0且b≠0时，表示与x轴平行的直线；③当k=0且b=0时，表示与x轴重合的直线. 【名师提醒】 （1）纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数. 纵截距也可能不存在，比如当直线与y轴平行时. （2）由于有些直线没有斜率，即有些直线在y轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示. 3、直线的两点式方程 已知直线过两点,当时，直线的方程为 .这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式. 4、直线的截距式方程 已知直线过点，()，则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为 ___________. 我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的_____________，此时直线在轴上的截距是 ___________. 这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式. 5、中点坐标公式 若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为,则.此公式为线段的中点坐标公式. 6、直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 四、平行与垂直 1、直线系方程 （1）．平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中