专题04 指数与指数函数（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版）

专题04 指数与指数函数 1、 考情分析 2、 考点梳理 重难点一 根式 (1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ 重难点二 分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 重难点三 指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 3、 题型突破 重难点突破1 指数与指数运算 例1．（1）（2021·全国高一单元测试）若，，则的值为（ ） A．7 B．10 C．12 D．34 【答案】C 【分析】 根据指数幂的运算性质直接进行求解即可. 【详解】 因为，，所以， 故选：C （2）．（2021·全国高一课时练习）下列式子中，错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 结合指数的运算公式逐项计算即可判断正误. 【详解】 对于A，原式，A正确； 对于B，原式，B正确； 对于C，原式, C错误； 对于D，原式，D正确. 故选：C. （3）．（2021·全国高一课时练习）计算或化简： （1）－10＋； （2）·. 【答案】（1）－；（2） 【分析】 （1）结合指数的运算公式化简整理即可； （2）根据根式与分数指数幂的互化以及指数的运算公式即可求出结果. 【详解】 （1）原式 ; （2）原式 . 【变式训练1-1】．（2021·全国）化简·的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 结合指数幂的运算性质，可求出答案. 【详解】 由题意，可知， ∴·. 故选：A. 【变式训练1-2】．（2021·全国高一课时练习）化简 (a>0，b>0)的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可. 【详解】 故选：B 【变式训练1-3】．（2021·全国高一课时练习）化简： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）利用根式与分数指数幂互化及分数指数幂的四则运算可得答案； （2）利用分数指数幂的四则运算可得答案；. 【详解】 （1）原式 ； （2）原式． 重难点突破2 指数函数的图像与性质 例2．（1）（2021·全国高一课时练习）函数的图像恒过点___________； 【答案】 【分析】 当时，是定值，从而可求出函数图像恒过的定点 【详解】 当时，是定值， 此时，， 所以函数的图像恒过点， 故答案为： （2）．（2021·全国高一课时练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断. 【详解】 与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线， 该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A． 故选：A （3）．（2021·全国高一课时练习）已知函数(其中)的图象如图所示，则函数的图像是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可. 【详解】 由图象可知：，因为，所以由可得：，由可得：，由可得：， 因此有，所以函数是减函数，，所以选项A符合， 故选：A 【变式训练2-1】．（2021·山东高二期末）函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由函数的奇偶性可排除选项C和D，再对比余下选项，只需考虑（1）与0的大小关系，即可得解． 【详解】 因为， 所以为奇函数，排除选项C和D， 又（1），排除选项B， 故选：A 【变式训练2-2】．（2021·四川高二期末（文））设函数，若，则（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据给定的分段函数求出的值，列出关于a的方程即可得解. 【详解】 依题意，，则， 于是得，解得或(不符合题意，舍去)， 所以. 故选：A 重难