专题04 指数与指数函数（课时训练）-【课后辅导专用】2021年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版）

专题04 指数与指数函数 A组 基础巩固 1．（2020·江苏南京市·高一月考）设是非零实数，已知，则（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】 根据，利用完全平方公式和平方差公式分别求得， ， ，代入求解. 【详解】 因为， 所以， 所以 ，， 所以， ， ， 故选：A 2．（2021·全国）设，则下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由有理数指数幂的运算性质和分数指数幂的意义直接判断即可. 【详解】 当时，，故A错；，故B错；，故D错. 故选：C. 3．（2021·全国高一单元测试）指数函数的图象经过点，则a的值是（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】 将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得的值. 【详解】 因为的图象经过点， 所以，解得， 故选：B. 4．（2020·江西省兴国县第三中学高一月考）函数y＝(a>0，且a≠1)的图像可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 依题意可得，再对参数分两种情况讨论，结合指数函数的性质判断即可； 【详解】 解：因为（且），即， 当时，，函数在定义域上单调递增，且与轴的交点位于之间，故排除A、B； 当时，，函数在定义域上单调递减，且与轴的交点位于轴负半轴，故排除C； 故选：D 5．（2021·四川（文））设函数，若，则（ ） A． B． C．2 D．或2 【答案】C 【分析】 求出，然后根据的范围分类计算求解． 【详解】 由已知，时，，，不合题意， 时，，． 综上，． 故选：C． 6．（2021·汕头市达濠华侨中学）已知函数，则的单调递增区间是______． 【答案】 【分析】 函数是由和复合而成，分别判断两个函数的单调性，根据复合函数的单调性同增异减即可求解. 【详解】 函数是由和复合而成， 因为为单调递增函数， 对称轴为，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的单调递增区间为， 故答案为：. 7．（2021·昆明市第三中学经开区学校）已知满足任意都有成立，那么的取值范围是___________. 【答案】 【分析】 由题意可知，分段函数在上单调递减，因此分段函数的每一段都是单调递减，且左边一段的最小值不小于右边的最大值，即可得到实数的取值范围. 【详解】 由任意都有成立，可知函数在上单调递减， 又因，所以，解得. 故答案为：. 8．（2019·贵阳市清镇养正学校高一期中）设都是不等于的正数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小顺序是______________． 【答案】 【分析】 先根据指数函数的单调性，确定a，b，c，d与1的关系，再由时，函数值的大小判断. 【详解】 因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数， 所以c，d大于1，a，b小于1， 由图知： ，即， ，即 ， 所以， 故答案为： 9．（2021·四川仁寿一中）已知函数在R上单调递减，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【分析】 分段函数的两段都是减函数，两端端点处函数值左边不小于右边，由此可得． 【详解】 解：指数函数单调递减，则， 二次函数在上单调递减，则：，解得：， 且当时：，解得：， 综上可得，实数a的取值范围是. 故答案为：. 10．（2021·河南高一期末）已知函数若对任意，，且，都有.则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】 由得函数是增函数，然后由分段函数的两段均为增函数，且左侧端点不高于右侧端点．由此可得参数范围． 【详解】 由题意，函数在和上都是增函数，且的图像在上的最高点不高于函数在上的最低点，即解得． 故答案为：． B组 能力提升 11．（2020·广东华侨中学高一期中）（1） （2）； 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解． （2）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解． 【详解】 解：（1） ； （2） 12．（2021·浙江高一期末）已知函数， （1）当时，求函数的最大值和最小值； （2）若实数a使得对，恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）最大值为，最小值为；（2） 【分析】 （1）采用换元法可将函数化为，；由二次函数图象和性质可求得最大值和最小值； （2）若不等式恒成立则需，从而得到结果． 【详解】 （1）令 ， 当时，；当时， 即最大值为，最小值为； （2）由恒成立得： 由（1）知， 的取值范围为． 【点睛】 思路点睛：本题考查与指数函数有关的二次函数型的最值的求解、恒成立问题的求解；解决此类问题常采用换元法的方式，将函数转化为二次函数，从而利用二次函数图象与性质来进行