专题01 集合、集合间的关系、集合的运算（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版）

专题01 集合、集合间的关系、集合的运算 一、考情分析 2、 考点梳理 1.集合的概念及其表示 ⑴.集合中元素的三个特征： ①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了． ②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的. ③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 ⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示）． ⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法． (4).常见的数集及其表示符号 名称 自然数集 (非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 表示符号 N 或 Z Q R 2. 集合间的基本关系 性质 符号表示 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 相等 集合A与集合B所有元素相同 A=B 子集 集合A中的任何一个元素均是集合B中的元素 真子集 集合A中的任何一个元素均是集合B中的元素,且B中至少有一个元素在A中没有 3. 集合之间的基本运算 符号表示 集合表示 并集 交集 补集 【名师提醒】 1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B .3．奇数集：. 4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N对加法运算是封闭的;整数集Z对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F中的数,即运算封闭,则称F为数域. 5. 德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即； ②交集的补集等于补集的并集，即． 三、题型突破 考点1 集合的概念及其表示 归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 例1．（2020·全国高一课时练习）下列对象能构成集合的是 A．高一年级全体较胖的学生 B． C．全体很大的自然数 D．平面内到 三个顶点距离相等的所有点 【答案】D 【分析】 根据集合的互异性、确定性原则判断即可. 【详解】 对于，高一年级较胖的学生，因为较胖学生不确定，所以不满足集合元素的确定性，故错误； 对于,由于如,不满足集合元素的互异性，故错误； 对于，全体很大的自然数，因为很大的自然数不确定，所以不满足集合元素的确定性，故猎误； 对于，平面内到三个顶点距离相等的所有点，可知这个点就是外接圆的圆心，满足集合的定义， 正确，故选D. 【点睛】 本题主要考查集合的性质，属于基础题.集合的主要性质有：（1）无序性；（2）互异性；（3）确定性. 【变式训练1-1】．（2020·全国高一课时练习）下列各组对象中能构成集合的是（ ） A．充分接近的实数的全体 B．数学成绩比较好的同学 C．小于20的所有自然数 D．未来世界的高科技产品 【答案】C 【分析】 根据集合中元素的确定性，即可得解. 【详解】 选项A、B、D中集合的元素均不满足确定性， 只有C中的元素是确定的，满足集合的定义， 故选：C. 【点睛】 本题考查了集合中元素的特征，考查了集合中元素的确定性，是概念题，属于基础题. 例2．（1）（2020·全国高一单元测试）集合中的不能取的值的个数是 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】 根据集合元素的互异性，得到不等式组，可以求出不能取的值，就可以确定不能取值的个数. 【详解】 由题意可知：且且，故集合中的不能取的值的个数是3个，故本题选B. 【点睛】 本题考查了集合元素的互异性，正确求出不等式的解集是解题的关键. （2）．（2021·全国高一专题练习）已知集合只有一个元素，则的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 对参数分类讨论，结合判别式法得到结果. 【详解】 解：①当时，，此时满足条件； ②当时，中只有一个元素的话，，解得， 综上，的取值集合为，． 故选：D． 【变式训练2-1】．（2021·全国高一专题练习）已知，，若集合，则的（ ） A． B． C． D． 【答