专题20 平面向量共线定理-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】

专题20 平面向量共线定理 【高考地位】 随着向量在科学研究中的工具性应用，与它在社会生产生活中所起的巨大作用，所以近年来数学高考题中，命入了共线向量内容考题.在今后的高考试题中，共线向量必将增长态势.其在高考题型多以选择题、填空题出现，其试题难度属低中档题. 方法一 共线定理的代数运算 万能模板 内 容 使用场景 共线条件求向量或条件 解题模板 第一步 表示共线； 第二步 列出等式； 第三步 得出结论. 例1、（1）2．已知向量，满足，，若与共线，则（ ） A．2 B．4 C． D．22 【来源】湖南省2021届高三数学模拟试题（黑卷） 【答案】A 【分析】 先根据向量共线求解出的值，然后根据向量的模长以及数量积采用先平方再开根号的方法求解出的大小. 【详解】 因为与共线，所以，. 又，，所以 . 故选：A. （2）在中，，D是上的点，若，则实数x的值为（ ） A． B． C． D． 【来源】全国卷地区“超级全能生”（丙卷）2021届高三5月联考数学（理）试题 【答案】D 【分析】 由得到，然后带入，进而得到，然后根据B，D，E三点共线，即可求出结果. 【详解】 解：∵，∴， ∵， ∴， ∵B，D，E三点共线，∴，∴． 故选：D． 【变式演练1】已知向量满足，，，则（ ） A．或 B． C． D．或 【来源】安徽省合肥市第六中学2021届高三下学期高考考前诊断暨预测卷理科数学试题 【答案】D 【分析】 由共线向量定义可知，分别在和时求得结果即可. 【详解】 ，又，，， 当时，；当时，； 或. 故选：D. 【变式演练2】【湖北省武汉市武昌区2020届高三下学期六月适应性考试】如图在中，，P为CD上一点，且满足，则实数m的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面向量共线基本定理,可设,结合向量的加法与减法运算,化简后由,即可求得参数的值. 【详解】 因为为上一点,设 因为 所以 则由向量的加法与减法运算可得 因为 所以,解得 故选：B 【点睛】 本题考查了平面向量共线定理的应用,平面向量基本定理的应用,向量的加法与减法的线性运算,属于中档题. 方法二 建系设坐标处理共线问题 万能模板 内 容 使用场景 共线，用已知向量表示未知向量 解题模板 第一步 根据条件建立合适的坐标系； 第二步 用坐标合理的表示各个向量以及关系； 第三步 得出结论. 例2 【黑龙江省大庆一中2020届高三高考数学（文科）三模】“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 第一步：由题意建立如图所示的直角坐标系， 因为，，则，，. 第二步：设，则，， 因为，所以，解得， 第三步：由，得， 所以 解得， 所以. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查向量的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 【变式演练3】如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 【来源】文科数学-2021年高考考前20天终极冲刺攻略（一）（课标全国卷） 【答案】 【分析】 可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值. 【详解】 ，，， ， 解得， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， , ∵，∴的坐标为, ∵又∵,则，设，则（其中）， ，， ， 所以，当时，取得最小值. 故答案为：；. 【点睛】 本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 方法三 几何法 万能模板 内 容 使用场景 平面几何证明、求值等问题中的应用 解题模板 第一步 将已知条件进行向量处理； 第二步 利用平面向量的运算法则和线性运算等性质进行求解； 第三步 得出结论. 例3 平面内有一个和一点，线段的中点分别为的中点分别为，设. （1）试用表示向量； （2）证明线段交于一点且互相平分. 【答案】（1），，；（2）证明见解析. 第一步，将已知条件进行向量处理； 第二步，利用平面向量的运算法则和线性运算等性质进行求解； 第三步，得出结论. 【变式演练4】已知正六边形，､分别是对角线､上的点，使得，当_________