专题19 解三角形-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】

专题19 解三角形 【高考地位】 正余弦定理是三角函数中有关三角知识的继续与发展，进一步揭示了任意三角形的边与角之间的关系，其边角转换功能在求解三角形及判断三角形形状时有着重要应用. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. :类型一 判断三角形的形状学 万能模板 内 容 使用场景 已知边与三角函数之间的等式关系 解题模板 第一步 运用正弦定理或余弦定理将已知等式全部转化为都是角或都是边的等式； 第二步 利用三角函数的图象及其性质或者边与边之间的等式关系得出所求的三角形 的形状； 第三步 得出结论. 例1在中，已知，那么一定是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】第一步，运用正弦定理或余弦定理将已知等式全部转化为都是角或都是边的等式： 因为，由正弦定理得， 第二步，利用三角函数的图象及其性质或者边与边之间的等式关系得出所求的三角形的形状： 即，所以，所以三角形为等腰三角形， 第三步，得出结论： 故选A． 考点：正弦定理． 【点评】解决这类问题的方法通常有两种思路：一是将等式两边的边运用正弦定理全部转化为正弦角的形式，使得式子只有三角形式；二是运用余弦定理将右边的化为边的形式，使得等式只有边与边之间的等式关系. 【变式演练1】【上海市虹口区2021届高三上学期一模】在中，若，则的形状一定是（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】 先利用数量积运算化简得到，再利用余弦定理化简得解. 【详解】 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以三角形是直角三角形. 故选：B 【变式演练2】在△中，若满足，则该三角形的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【来源】西南名校联盟“3 3 3”2021届高三5月份高考数学（文）诊断性试题（三） 【答案】D 【分析】 运用正弦定理进行边角互化，运用诱导公式进行化简，然后判断出三角形形状. 【详解】 由正弦定理可得， 所以， 所以， 所以， 所以或， 因为，， 所以或， 所以或， 所以是直角三角形或等腰三角形， 故选：D 类型二 解三角形中的边和角 万能模板 内 容 使用场景 解三角形中的边和角 解题模板 第一步 直接运用正弦或余弦定理通常使用的条件判断是运用正弦定理还是余弦定理； 第二步 利用相应的正弦、余弦定理的计算公式即可得出所求的结论. 例2、 设的内角， ， 所对的边长分别为， ， ，若， ， ，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】第一步，直接运用正弦或余弦定理通常使用的条件判断是运用正弦定理还是余弦定理： 根据正弦定理 ，得 第二步，利用相应的正弦、余弦定理的计算公式即可得出所求的结论： ，则为锐角，则 ，选C. 考点：正弦定理. 【点评】正弦定理主要解决两类三角问题：其一是已知二边及其一边的对角求其中一角的情况；其二是已知一边及其一对角求另一边的情况. 【变式演练3】【广西钦州市、崇左市2021届高三上学期第一次教学质量检测】在中，，，，则（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】 首先利用余弦定理求出，再根据正弦定理计算可得； 【详解】 解：，∴可得. ，， ，， ∴由正弦定理，可得：，解得. 故选：C. 【变式演练4】【吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中2020-2021学年高三（上）第一次联考】在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，．若点在边上，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题知为等腰三角形，再由余弦定理得到，得到可得答案. 【详解】 因为， 所以为等腰三角形， 因为，，． 由条件可得， 所以，解得， 所以， 可得． 故选：． 【变式演练5】某艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘.将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角，处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：，，.根据测量得到的结果推算女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于（ ） A． B． C． D． 【来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期开学摸底数学试题 【答案】B 【分析】 取，设,可得，从而得出结论. 【详解】 解：取，设 则 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为 则 故选：B 类型三 解决与面积有关问题 万能模板 内 容 使用场景 解决与面积有关问题 解题模板 第一步