专题18 三角恒等变换-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】

专题18 三角恒等变换 【高考地位】 三角函数学习中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换，是常用的解题工具. 但由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 方法一 运用转化与化归思想 万能模板 内 容 使用场景 含不同角的三角函数式类型 解题模板 第一步 利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式； 第二步 运用有关公式进行变形，主要是角的拆变； 第三步 得出结论. 例1 已知，则的值为__________． 【答案】 【解析】第一步，利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式： 第二步，运用有关公式进行变形，主要是角的拆变： 第三步，得出结论: ，故答案为. 【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，属于基础试题，本题的解答中注意角的整体性和配凑． 【变式演练1】已知，则（ ） A． B． C． D． 【来源】广东省广州市省实、广雅、执信、六中四校2022届高三上学期8月联考数学试题 【答案】A 【分析】 根据二倍角公式求出，结合诱导公式即可得解. 【详解】 由题，， . 故选：A 【变式演练2】【2020届吉林省高三第二次模拟】设，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用倍角公式求得的值，利用诱导公式求得的值，利用同角三角函数关系式求得的值，进而求得的值，最后利用正切差角公式求得结果. 【详解】 ，， ，， ，，， ， 故选：D. 【点睛】 该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目. 方法二 运用函数方程思想 万能模板 内 容 使用场景 一般三角函数类型 解题模板 第一步 将把某个三角函数式看作未知数，利用已知条件或公式列出关于未知数的方程； 第二步 求解方程组； 第三步 得出结论. 例2 已知，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】第一步，将把某个三角函数式看作未知数，利用已知条件或公式列出关于未知数的方程： 由可得： 第二步，得出结论： 所以原式，故选：B 【点评】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换.因此，有时在三角恒等变换中，可 以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解. 【变式演练3】若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性月考（六）数学试题 【答案】A 【分析】 由题意可得，再利用二倍角公式、二次函数的性质，求得的范围． 【详解】 解：∵， ∴，设， 即有， 只需要，解得. 故选：A. 【变式演练4】设α是第一象限角，满足，则（ ） A．1 B．2 C． D． 【来源】陕西省2021届高三下学期教学质量检测测评（六）理科数学试题 【答案】C 【分析】 用两角和与差的正弦余弦公式展开化简，可得，结合以及角的范围，求解，，即可计算. 【详解】 ， ， ∴， 联立， ∵设α是第一象限角， ∴，，即，， ∴. 故选：C. 方法三 运用换元思想 万能模板 内 容 使用场景 一般求值题 解题模板 第一步 运用换元法将未知向已知转化； 第二步 利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换； 第三步 得出结论. 例3 若求的取值范围. 【答案】. 【解析】第一步，运用换元法将未知向已知转化： 令，则 第二步，利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换： 即，所以 所以，即 第三步，得出结论： 所以 【点评】本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子看作一个整体，通过 代数、三角变换等手段求出取值范围. 【变式演练5】【江苏省2020届高三下学期6月高考押题】已知，则的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】 先平方求出，再利用二倍角公式求出，即可求解. 【详解】 即 故答案为： 【点睛】 此题考查二倍角公式，关键熟记二倍角的各种变形，属于简单题目. 【高考再现】 1．（2021·北京高考真题）函数，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2 C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为 【答案】D