专题17 求三角函数最值的常见题型及解题策略-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】

专题17 求三角函数最值的常见题型及解题策略 【高考地位】 三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.[来源 :学方法一 化一法 万能模板 内 容 使用场景 函数表达式形如类型 解题模板 第一步 运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如形式； 第二步 利用辅助角公式化为只含有一个函数 名的形式； 第三步 利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值. 例1 已知函数，则在上的最大值与最小值之差为 ． 【答案】 【解析】第一步，运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如形式： 第二步，利用辅助角公式化为只含有一个函数名的形式： 第三步，利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值： 当时，，故， 即函数的值域为，故答案为． 考点：二倍角公式，两角和公式，正弦函数的值域． 【点评】本题中主要考察了学生三角化简能力，涉及有二倍角公式和两角和公式，，进而利用的范围得到，即为换元思想，把看作一个整体，利用的单调性即可得出最值，这是解决的常用做法． 【变式演练1】【湖北省鄂东南省级示范高中教学改革联盟2020届高三下学期6月模拟】已知函数，则在区间上（ ） A．既有最大值，又有最小值 B．有最大值，没有最小值 C．有最小值，没有最大值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】B 【分析】 本题先对函数进行化简，再利用余弦型函数的图象与性质直接解题即可. 【详解】 解： ， 根据余弦型函数的图象与性质：，无最小值. 故选：B 【变式演练2】【2020届天津市河西区高考一模】已知函数的最小正周期为，的图象关于轴对称，且在区间上单调递增，则函数在区间上的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题意，利用辅助角公式化简得，根据最小正周期求出，由函数的对称性和单调性，得出和，从而得出，最后利用整体法求出的值域. 【详解】 解：由题可知，函数， 则， 由于的最小正周期为， ， ， 又已知的图象关于轴对称， ，，则， 在区间上单调递增， 可以令，此时， 则函数， 所以在区间上，则，， 得，，所以，， 即的值域为，. 故选：A． 【变式演练3】【2020届四川省宜宾市高三高考适应性考试（三诊）】已知函数的最小正周期为，最大值为4，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先化简函数的解析式为，根据函数的最小正周期求出，根据函数的最大值求出的值得解. 【详解】 由题得 所以， 所以. 由题得. 故选：A 【变式演练4】【海南省海口市华侨中学2021届高三第一次月考】已知函数，（，，）的最小正周期为. （1）从①；②；③，都有这三个条件中，选择合适的两个条件，求函数的解析式； （2）求（1）中所求得的函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）；（2）最小值为-1，最大值为. 【分析】 （1）先根据周期得，①或③都能确定，所以选①②或②③，再根据②确定；（2）先根据自变量范围得范围，再根据正弦函数性质求最值. 【详解】 （1）因为的最小正周期为， 所以，解得. 选①②： 因为，所以， 解得，. 因为，所以. 又因为， 所以，即， 所以. 所以. 选②③： 因为，都有， 所以时，取得最大值，即， 所以，， 所以，所以. 又因为， 所以，即， 所以. 所以. （2）因为， 所以， 所以， 当时，取得最小值为-1； 当时，取得最大值为； 所以取得最小值为-1，最大值为. 【变式演练5】【2020届湖南省湘潭市湘潭县一中高三下学期5月高考模拟】已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）在中，分别为角的对边，且满足，求的取值范围． 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）先化简得到，解不等式即得的单调递减区间； （2）化简已知得到，得到，再利用三角函数的图象和性质求的取值范围． 【详解】 （1）， 由，得， 所以的单调递减区间为； （2）由条件，得， 又由，得． 由，得，故. 所以. 的取值范围为． 方法二 配方法 万能模板 内 容 使用场景 函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子 解题模板 第一步 先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数； 第二步 利用函数单调性求解三角函数的最值. 第三步 得出结论. 例