专题16 三角函数的图象和性质-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】

专题16 三角函数的图象和性质问题 【高考地位】 近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合 的思想方法。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.[来源 :学类型一 求三角函数的单调区间 万能模板 内 容 使用场景 一般三角函数类型 解题模板 第一步 先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数的正负； 第二步 利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间； 第三步 运用三角函数的图象与性质确定其单调区间. 例1 设向量， . （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的单调递减区间. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】（1）. 故函数的最小正周期为. （2） 第一步，先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数的正负： 由题意可得： 第二步，利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间： 所以 第三步，运用三角函数的图象与性质确定其单调区间： 令， 求得， 故函数的减区间为. 再根据，可得函数的减区间为. 【点评】（1）由题设，根据向量数量积的坐标运算可得函数，因此函数的最小正周期为；（2）由正函数的单调递减区间为，由（1）可令（），从而可得所求函数在区间上的单调递减区间为. 【变式演练1】【上海市虹口区2021届高三上学期一模】已知函数(，)的图象与直线()的三个相邻交点的横坐标依次是1､2､4，下列区间是函数单调递增区间的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据正弦函数的性质与已知的三个交点的横坐标得函数的对称轴与周期，从而可判断各选项． 【详解】 ∵，∴和是函数图象的两条相邻的对称轴，是最大值，是最小值，这样最小正周期是， ∴在上递减，在上递增． 故选：D． 【变式演练2】【河南省信阳市2021届高三（10月份）第一次质检数学（理科）】已知是函数（，）的一个零点，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则函数的单调递增区间是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】 通过条件可得，，结合，可求出，即可得，令，求出的范围即为函数的单调递增区间. 【详解】 解：由已知，得，， 又，， ，即，， ，①； 又， 所得图象关于轴对称，， ，，将①代入消去得，， ， 时，， ， ， 令，， ，， 故选：D. 类型二 由的图象求其函数式 万能模板 内 容 使用场景 一般函数求其函数式 解题模板 第一步 观察所给的图象及其图象特征如振幅、周期、与轴交点坐标等； 第二步 利用特殊点代入函数解析式计算得出参数中一个或两个或三个； 第三步 要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，并进一步地确定参数； 第四步 得出结论. 例2已知函数的部分图象如图所示，其中分别是函数的图象的一个最低点和一个最高点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 第一步，观察所给的图象及其图象特征如振幅、周期、与轴交点坐标等： 由题意知， ，所以，所以， 第二步，利用特殊点代入函数解析式计算得出参数中一个或两个或三个： 所以，所以， 解得 第三步，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，并进一步地确定参数： 因为，所以， 第四步，得出结论： 所以，故选A. 【点评】本题的解题步骤是：首先根据已知图象与轴的交点坐标可得其周期为，进而可得的大小；然后观察图象知其振幅的大小，即得到函数的解析式；最后将图象与轴的交点坐标代入函数的解析式即可得到的大小，进而可以求解. 【变式演练3】【江西省南昌市师大附中2021届高三数学（文科）模拟】如图，已知函数的部分图象与x轴的一个交点为，与y轴的交点为那么（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据， 在图象上，利用余弦函数的图象和性质求得的解析式，可得的值． 【详解】 因为， 在图象上，所以，， 结合，，可得， ，即， ，， ， 故选：D． 【变式演练4】已知函数的部分图象如下图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由图可求出函数的周期，再由周期公式求出的值，然后将点代入函数关系式中可求出的值 【详解】 设函数的最小正周期为，则由题可得， 即，所以，所以，， 即，，因为，所以． 故选:D． 【变式演练