考向08 函数的应用-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）

考向08 函数的应用 一、单选题 1．（2021·天津高考真题）设 ，函数 ，若 在区间 内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 最多有2个根，可得 至少有4个根，分别讨论当 和 时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出. 【详解】 最多有2个根，所以 至少有4个根， 由 可得 ， 由 可得 ， （1） 时，当 时， 有4个零点，即 ； 当 ， 有5个零点，即 ； 当 ， 有6个零点，即 ； （2）当 时， ， ， 当 时， ， 无零点； 当 时， ， 有1个零点； 当 时，令 ，则 ，此时 有2个零点； 所以若 时， 有1个零点. 综上，要使 在区间 内恰有6个零点，则应满足 或 或 ， 则可解得a的取值范围是 . 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成 和 两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况. 二、填空题 2．（2021·江苏高考真题）已知函数 ，若其图像上存在互异的三个点 ， ， ，使得 ，则实数 的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先画出函数 的图象，转化为函数 与函数 的图象有三个不同的交点，再画函数 的图象，观察交点的个数，从而求得 的取值范围． 【详解】解：画出函数 的图象如下图， 由题意得函数图象上存在互异的三个点，且 ， 则可看做函数 与函数 的图象有三个不同的交点， 由图知，当 或 时，有且仅有两个交点， 要使两个图象有三个不同的交点，则 的取值范围为 ． 故答案为： ． 3．（2021·北京高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论： ①若 ，则 有两个零点； ② ，使得 有一个零点； ③ ，使得 有三个零点； ④ ，使得 有三个零点． 以上正确结论得序号是_______． 【答案】①②④ 【分析】由 可得出 ，考查直线 与曲线 的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误. 【详解】对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确； 对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ， 对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ， 所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确； 对于③，当直线 过点 时， ，解得 ， 所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点， 若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点， 直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解， 因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误； 对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ， 对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ， 所以，当 时，函数 有三个零点，④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 三、解答题 4．（2021·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 万元与年产量 吨之间的函数关系可以近似地表示为 ，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本; （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润. 【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元. 【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得； （2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值. 【详解】（1） ， 当且仅当 时，即 取“=”，符合题意； ∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元. （2） 又 ，∴当 时， . 答：年产量为110吨时，最大利润为860万元. 1.识图 对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系. 2.用图 借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等. 3.转化思想在函数零点问题中的应用 方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题. 4.判断函数零点个数的常用方法 (1)通过解方程来判断. (2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断. (3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断. 5.解函数应用问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清