考向07 对数函数-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）

考向07 对数函数 1．（2021·全国高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【答案】C 【分析】根据 关系，当 时，求出 ，再用指数表示 ，即可求解. 【详解】由 ，当 时， ， 则 . 故选：C. 2．（2017·上海高考真题）已知数列 和 ，其中 ， ， 的项是互不相等的正整数，若对于任意 ， 的第 项等于 的第 项，则 ________ 【答案】2 【详解】由 ，若对于任意 的第 项等于 的第 项， 则 ，则 所以 ， 所以 1.对数值取正、负值的规律 当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时，logab>0； 当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，logab<0. 2.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定. 1.对数的概念 一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④loga mMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 一、单选题 1．（2021·全国高一专题练习）若 ，则x，y，z之间满足（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指对互化，再化简. 【详解】 ， ， . 故选：B 2．（2020·全国高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A 【分析】由题意可得 、 、 ，利用作商法以及基本不等式可得出 、 的大小关系，由 ，得 ，结合 可得出 ，由 ，得 ，结合 ，可得出 ，综合可得出 、 、 的大小关系. 【详解】由题意可知 、 、 ， ， ； 由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ； 由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 . 综上所述， . 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 二、填空题 3．（2021·河南高三其他模拟（文））已知数列 ， ，其中数列 满足 ，前 项和为 满足 ；数列 满足： ，且 ， ， ，则数列 的第 项的值为______. 【答案】 【分析】根据 可知数列 周期为10，并根据 求得 在 时的通项公式.又 可知数列 周期为12，再求出 ，分析 的周期再求解即可. 【详解】当 时, ； 当 时, , 故 , 又∵ , ,∴ EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 , 又数列 , 的公共周期为 ,所以 , 而 , ,所以 故答案为： 【点睛】本题主要考查了根据数列的前 项和与通项的关系，求解通项公式以及构造数列求通项公式的方法.同时也考查了周期数列的运用.属于中档题. 4．（2020·北京高考真题）函数 的定义域是____________． 【答案】 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得 ， 故答案为： 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 一、单选题 1．（2021·上海华师大二附中高三三模）若 ，则 的定义域是（ ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】由互为反函数的两个函数的关系，先求出原函数的值域，可得其反函数的定义域 【详解】解：因为 ，所以 ， 所以 的值域为 ， 所