云南省昆明市第一中学2021-2022学年高三上学期第一次摸底测试理科数学试卷（扫描版）

昆明一中2022届高三第一期联考 参考答案（理科数学） 命题、审题组教师 杨昆华 张波 杨仕华 张兴虎 王海泉 卢碧如 江明 丁茵 易效荣 杨耕耘 李建民 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A C C A D B C B D C 1. 解析：由题意，选D． 2. 解析：根据此频率分布直方图，成绩在 内的人数为 人，A对； 这 名学生中成绩在 内的频率为 ， B对； 这 名学生成绩的中位数 ，C错； ，D对 ，选C. 3. 解析：由题意 ， ，选A． 4. 解析：由已知得： 密位， 密位写成 ，选C . 5. 解析：可设 的方程为 EMBED Equation.DSMT4 ，将点 代入得 ，则 的方程为 选C． 6. 解析：将三视图还原可得下图，设正方体棱长为 ，挖去多面体为四棱锥，其体积 ，剩余几何体体积 ，所以 ，选A. 7. 解析：由 解得 ，代入 ，得 或 ，选D. 8. 解析：在△ 中，由 ，得 ，由正弦定理得 ，所以 ，选B. 9. 解析：由 且 得 ， ， 所以 ，选C. 10. 解析：将 把椅子依次编号为 ，任何两人不相邻的做法，可安排： 号位置坐人，故两人不相邻有4种可能，所以 ，选B. 11. 解析：设点 ， 分别是正 ， 的中心，球的半径为 ，则 且 ， ， 三点共线，正三棱台 的高为 ，因为 ， ，所以 ， ，在 中， ，解得 ，在 中， ，解得 ，如果三棱台的上下底面在球心 的两侧，则正三棱台的高为 ，如果三棱台的上下底面在球心 的同侧，则正三棱台的高为 ，所以正三棱台 的高为 或4，选D . 12. 解析：因为 的定义域为 ，对于定义域内的任意实数 ，都有 ，所以 为奇函数，又因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，且 ，所以 在 上单调递减，所以 在 上单调递减，所以 等价于 ，即 ，解得 ，选C . 二、填空题 13. 解析： . 14. 解析： ， ， 所以切线方程为 ，即 . 15. 解析：由题意，不妨记 ， ，则 ，设点 的坐标为 ，则点 到直线 的距离为 ， 得 . 16. 解析：因为 的图象向右平移 个单位后与 的图象重合，所以 是 一个周期，又 ，所以 ， ，所以 ， 的最小值为 ，所以①正确；进而 ，由 ，解得 ,当 时， 的单调增区间为 ，当 时， 的单调增区间为 ，所以② = 3 \* GB3 ③错误，而 ，所以④错误， ，所以⑤正确，所以正确的结论的编号是① = 5 \* GB3 ⑤ .　 三、解答题 （一）必考题 17. 解析：（1） ………5分 非优秀 优秀 合计 男生 25 25 50 女生 15 35 50 合计 40 60 100 （2） ………7分 所以有 的把握认为竞赛成绩是否优秀与性别有关. ………12分 18. 解：选①（1）由 得： ，所以 ，又因为 ， 所以 ，所以 ， 所以 ， 令 ，则 ，此方程无正整数解， 所以 不是数列 中的项. ………6分 （2）令 ，即 ，解得： ， 所以 时， ，当 时， ， 所以，当 时， 的最小值为 . ………12分 选②（1）由 得： ，又因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 令 ，则 ，所以 是数列 中的第 项. ………6分 （2）令 ，即 ，解得： ， 所以 时， ，当 时， ， 所以，当 或 时， 的最小值为 . ………12分 19. 证明：(1) 设 交 于 ，连结 . 因为 ， 分别是 ， 的中点， 所以 ， . 又因为 ，所以 , 所以 , 又因为 平面 , 平面 所以 平面 ………6分 (2) 如图，以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴 建立空间直角坐标系 .设 . 在菱形 中，因为 ， 所以 是等边三角形，故 . 又因为 ， 平面 ，所以 . 所以 ， ， ， ， 所以 ， ， . 设平面 （即平面 ）的一个法向量为 ， 由 ， 得 ， 取 得 ； 同理可求得平面 的一个法向量 ． 所以 . 故二面角 的余弦值为 .………12分 20. 解：（1）当 时， ，所以 ； 当 时， ， 在区间 上单调递减； 当 时， ， 在区间 上单调递增； 所以 是 在区间 上的最小值，所以 . ………5分 （2）依题意， . 若 ，则当 时， ， 在区间 上单调递增，不合题意，舍去； 若 ，令 ，则 . 因为 时， ，所以 在 上单