4.3 对数函数-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（湘教版2019必修第一册）

第4章 幂函数、指数函数和对数函数 4.3 对数函数 学习导航 1、 理解对数函数的概念。 2、 初步掌握对数函数的图象和性质。 3、 掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法。 4、 了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型。 5、 了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义。 教学过程 一、对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 例题1 1．下列函数是对数函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据对数函数的定义即可判断. 【详解】 由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有D符合. 故选D 2、 对数函数的图像和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 2、反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换． 3、对数型函数的性质及应用 （1）．y＝logaf(x)型函数性质的研究 ①定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域． ②)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域． ③单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定．(或运用单调性定义判定) ④奇偶性：根据奇偶函数的定义判定． ⑤)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值． （2）logaf(x)<logag(x)型不等式的解法 ①讨论a与1的关系，确定单调性． ②转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零． 例题2 2．已知函数（且）的图象必经过定点P，则P点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 令，解得定点的横坐标，代入即可求出纵坐标，从而解出． 【详解】 令，解得，所以，因此函数的图象 过定点． 故选：C． 三、不同函数增长的差异 1、三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 y＝a x(a>1) y＝logax (a>1) y＝kx (k>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随x的增大匀速上升 增长速度 y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长 增长后果 会存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 例题3 3．下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据几何常见函数模型的增长速度最快的是指数函数，选出指数函数即可. 【详解】 四个函数中，增长速度由慢到快依次是 ，，，. 故选：C. 课时训练 1．以下四种说法中，正确的是 A．幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快 B．对任意的， C．对任意的， D．不一定存在，当时，总有 【答案】D 【分析】 根据幂函数、一次函数的增长速度受幂指数、一次项系数影响可判断A；根据幂函数、指数函数、对数函数的图像可判断B、C、D. 【详解】 对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响， 幂指数一次项系数不确定，增长速度不能比较； 对于B，C，当时，显然不成立； 对于D，当，时，一定存在，使得当时，总有， 但若去掉限制条件“，”，则结论不一定成立. 故选：D. 2．下列函数中,增长速度越来越慢的是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数增长速度，选出增长速度越来越慢的选项. 【详解】 函数的增长速度，指数函数的增长速度越来越快，对数函数增长速度越来越慢，幂函数的增长速度越来越快，一次函数匀速增长. 故选：B. 3．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程关于时间的函数关系是，，，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据函