第四章 实数-2021初中数学知识图解（通用版）

第四章实数 思维导图 我有两个平方根, 就是是它们俩 我的平方根 算术平方根 是算术 还是我 平方根 我没有 平方根的定义 表示方法 无理数 平方根性质 无限不循环小数 按正负分 开平方 分类 按定义分 实数 实数 定义 性质 表示方法 立方根 运算 开立方 性质 4.1平方根 ①)知识详解大全 KEO (1)只有非负数才有算术平方根, 并且非负数的算术平方根只有一个 知识1算术平方根 (2)算术平方根是它本身的数只有 0和1 名称 表示方法 举例 3)算术平方根是非负数,即√a ≥0(a≥0 般地,如果 个正数x的非负数a的算如53=25,那1 平方等于术平方根记作么5叫做25知识2利用计算器可探究算术平方 算术平即x2=a,那么 G”,读的算术平方 根的规律 这个正数x叫 方根做a的算术平作“根号a”,根(或者说 方根,规定:其中a叫做被25的算术平/1.算术平方根的规律 0的算术平方开方数 方根是5) 利用计算器探究可得被开方数的小数点向 根是0 右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点 就相应地向右或者向左移动1位 第四章实数 2.无限不循环小数 知识4开平方 无限不循环小数是指小数位数无限,且小 数部分不循环的小数许多正有理数的算术平方:名称定义表示方法举例 性质 根(例如3,5,7等)都是无限不循环小数 一/r求入,物0开2()开平方是 平平方根的 用符 方运算,叫 :81它和平方 运算是互 a的结果有两种情况:当a是完全平 做开平方表示 逆的 方数时,是一个有理数;当a不是一个完 全平方数时,是一个无限不循环小数,奥识5平方根与算术平方根的区别与 联系 知识3平方根 算术平方根 平方根 定义 如果一个正数x 般地,如果一个数的平方等于a,那 如果一个数的平方等 么这个数叫做a的平方根或二次方根.即如果 的平方等于a,于a,那么这个数叫 定义即x2=a,那么这 做a的平方根或二次 x2=a,那么x叫做a的平方根 个正数x叫做 方根 的算术平方根 如:(±2)24,所以4的平方根是区 ±2;02=0,所以0的平方根是0. 别个数正数的算术平方正数的平方根有两个 根只有一个 2.表示方法 表示正数a的算术平正数a的平方根表示 个数a的正的平方根,用符号“√”表示,1 方法方根表示为为±√ a叫做被开方数2叫做根指数,a的负平方根 取值正数的算术平方正数的平方根为一正 用“-a”表示,根指数是2时,通常略去不1 范围根一定是正数负,互为相反数 写.如√a记作√a,读作“根号a”,± 具有包平方根包含算术平方根,一个正数的正 己作±√a,读作“正、负根号a” 联含关系的平方根就是它的算术平方根 3.平方根的性质 系 相同点(1)只有非负数才有平方根和算术平方根 (1)一个正数a有两个平方根,它们互1 (2)0的平方根与算术平方根均为0 为相反数.记作±√a (2)零的平方根是零 2)技能方法大全 (3)负数没有平方根 方法1利用算术平方根的非负性解 e(温馨提示 题的方法 ①a≥0时,√a表示a的算术平方根 任意非负数a的算术平方根是非负数 a表示a的平方根 ②因为负数没有平方根,所以被开方:即a=0a≥0.若+√b=0,则a=0.b=0 数a≥0.如x-3中隐含着x-3≥0,即!反之亦然 x≥3这一条件 ③(√a)2=a(a≥0), (例1)若x-2++2=0,则xy的值为( A.2 C.5 a,a≥0 解析:因为x-2≥0,√y+2≥0,且x=2+ a,a<0 第四章实数 个数的立方根 答案:因为x-2的平方根是±2,所以x-2=4, 所以x=6 方时,被开方数可以是 因为2x+y+7的立方根是3,所以 、负数或O. 7=27 把x=6代入2x+y+7=27中,解得y=8. °(1)立方根等于开本身的数是0,±1 所以 所以x2+y2的算术平方根为10 方法2利用立方根的概念解方程的 知识3立方根与平方根的区别与联系 方法 立方根与平方根的区别 正数的立方根是一个正数;负数的立方根 (1)定义不同:平方根的概念强调“平方” 是一个负数;0的立方根是0.在解方程时,利 二字,立方根的概念强调“立方”三字,平方:用立方根的定义开立方,从而求出未知数的值, 根的逆运算是平方,立方根的逆运算是立方·在求立方根时,常需转化为x3=a的形式,也 (2)表示方法不同:平方根用“±3 常常将(x+a)中的x+a看作一个整体 表示,根指数2可以省略,写成“± 方根用“√”表示,根指数3不能省略 (例2)求下列各式中x的值 更不能写成“± (1)8x3+27=0;(2)3(x-3)24=0 3性质不同:一个正数的平方根有两个,答案:(1)因为8x2+27=0, 它们互为相反数;而任何一个数的立方根却只1 有一个,0的平方根和立方根都