第十三章 二次函数-2021初中数学知识图解（通用版）

第十三章二次函数 思维导图 咱俩真像,给定 个函数值我就变成你跟x轴的事情解决 了你 不了的时候,就找我 概念及一般形式 =ax2+bx+e(a,b,c是常数 a≠0) 元二次 图像和性质 方程 抛物线的平移左加右减、 上加下减 二次函数 一般式 确定二次函数的解析式顶点式 二次函数与一元二次 交点式 方程 131二次函数的有关概念 二次函数的一般形式的结构特征 知识详解大全 (1)函数的关系式是整式 知识1二次函数的定义 (2)自变量的最高次数是2 (3)二次项系数不等于零 股地,形如y=++(,,是常数,一0 变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、①二次函数的一般形式中,等号右边 一次项系数和常数项 是关于自变量x的二次三项式 当c=0时 知识2二次函数的一般形式 1y=ax+bx;当b=0,c=0时,y=ax,它们都 任何一个二次函数的解析式都可以化成}是特殊的二次函数,a≠0是隐含条件,不 x2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式 能忽视 因此,把y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0 ③判断一个函数是不是二次函数,在关 叫做二次函数的一般形式 系式是整式的前提下,如果把关系式化简 第十三章 整理(去括号、合并同类项)后,能写成象的顶点坐标为( 对称轴 y=ax2+bx+c(a≠0)的形式,那么这个函数 就是二次函数;否则,它就不是二次函数 为直线x=-b 知识3二次函数的常见表达式 顶点式 °顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0), 由于从y=a(x-h)2+k(a≠0)中可直接 当h=0时,抛物线的顶点坐标为(0,k), 看出抛物线的顶点坐标,所以通常把y=a(x-h)2}顶点位于y轴上 +h(a≠0)叫做二次函数的顶点式 当k=0时,拋物线的顶点坐标为(h,0), 交点式 顶点位于x轴上; 由于从y=(x-x1)(x-x2)(a≠0)中可直 当h=0,k=0时,抛物线的顶点坐标为 接看出抛物线与x轴的两个交点的坐标(x1,0),(0,0),顶点位于原点处 (x2,0),所以通常把y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)1 叫做二次函数的交点式 2)技能方法大全 °(1)一般式、顶点式、交点式是二次方法用待定系数法求二次函数解析 函数常见的表达式,它们之间可以互相转化 式的方 (2)顶点式、交点式化为一般式,主 要运用去括号、合并同类项等方法 用待定系数法可求出二次函数的解析式, (3)一般式化为顶点式、交点式,主 确定二次函数解析式一般需要三个独立条件 要运用配方法、因式分解等方法 根据不同条件选择不同的设法 1.设一般式 知识4二次函数的顶点坐标及其意义=0x2+bx+c(n≠0).若已知条件是图象 1.顶点式的推导过程 上的三个点,则设所求二次函数为y=ax2+bx+c (a≠0),将已知条件代入解析式,得到关于 y=ax +btc=a(x+ b,c的三元一次方程组,解方程组求出a,b (提出a,而不是除以a) c的值,即可得到解析式 2.设顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0),若已知二次函 (加上一次项系数一半的平方(b、2 数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或 最小值),则设所求二次函数为y=n(x-h)2+k 再减去(b)2,确保代数式的值不变):(a≠0),将已知条件代入,求出待定系数, 最后将解析式化为一般形式 4ac-b 13.设交点式 =a(x+2a)+ (a≠0) )(x-x2)(a≠0),若已知二次 2.特点 函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0) y=a(x+-)2+ 42(a≠0)的图(x2,0),则设所求二次函数为y=a(x-x1)x-x2) (a≠0),将第三个点的坐标( (其 初中数学知识图解 m,n为已知数)或其他已知条件代入,求出待 将点C(1,4)代入表达式,得 定系数a,最后将解析式化为一般形式 4=a×(1+1)(1-3),解得a=1, 例)图象经过点A(-1,0),B(3,0) 二次函数的表达式为:y=(x+1)(x-3), C(1,4),求二次函数的表达式 答案:解法一:设所求二次函数的表达式为 解法三:∵A(-1,0),B(3,0)是抛 y=ax2+bx+c(a≠0) 物线与x轴的两个交点 将点A(-1,0),B(3,0),C(1,4 对称轴是直线x=-1+3 分别代入表达式,得 a-b+c=0, 点C(1,-4)是此抛物线的顶点 设所求二次函数表达式为y=a(x-1)2 9a+3b 解得{b 4(a≠0) a+b+c=-4 将B(3,0)代入表达式中, ∵二次函数的表达式为: 得0=a×(3-1)2-4, 解得a=1, 解法二:设所求二次函数的表达式为 二次函数表达式为y=(x-1)2-4 y=a(x+1)(x-3)(a≠0