第十二章 一元二次方程-2021初中数学知识图解（通用版）

第十二章一元二次方程 思维导图 直接开平方法 配方法 解法公式法 根的判别式△=b2-4ac 当△>0时,方程有两个 因式分解法 不相等的实数根 当△=0时,方程有两个 元二次 相等的实数根 方程 根 当Δ<0时,方程 无实数根 根与系数的关系 概念及一般形式 应用 审、设、列、解、检验、答 121一元二次方程的有关概念 2.一元二次方程的一般形式 知识详解大全 元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0 知识1-元二次方程的定义及一般 (a≠0),其中ax2是二次项,a是二次项系数; 形式 bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项 元二次方程的定义 等号两边都是整式,只含有一个未知数( (1)“a≠0”是一元二次方程的 元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程, 般形式的重要组成部分.当a=0,b≠0 叫做一元二次方程 时,它就成为一元一次方程,如果明确 整式方程 了ax2+bx+c=0是一元二次方程,就隐含 一元二次方 a≠0这个条件 程的三要素 只有一个未知数x (2)项的系数包括它前面的符号.如 未知数的最高次是2 x2-3x-1=0的一次项系数是-3,而不是3 第十二章 知识2一元二次方程的根 次方程,则二次项是(a-1)x1因此指 概念 数a2+1=2,系数a-1≠0,由a2+1=2变 是这个一元二次方程的解,也叫做一元二次答案、“,解得n=±1,考虑到a-1≠0, 使方程左、右两边相等的未知数的值就 形得a2 方程的根 2.判断方法 将此数代人这个一元二次方程的左、右3)知识易错大全 两边,看是否相等,若相等,则是方程的根; 若不相等,则不是方程的根 易错对一元二次方程的意义理解不 透彻 2)技能方法大全 (例)m为何值时,关于x的方程(m-2) 方法应用一元二次方程的定义求-(m+3=4m是一元二次方程 字母参数的方法 错解:由题意知m2=2,解得m=±√2,即当 我们知道,含有一个未知数,并且未知 m=±√2时,原方程为一元二次方程 数的最高次数是2(其中二次项系数不为0):错因分析:错解产生的原因是忽略了原方程为 的整式方程是一元二次方程,因此要求 一元二次方程所必须满足的条件:二次项系数 元二次方程有关的字母参数,只要先根据指不等于0 数条件列方程,即指数等于2,通过解方程求正解:…(m-√2)x-(m+3)x=4m是一元 得字母参数的值,再通过二次项系数不能为0 次方程 的条件排除不合题意的值即可 m应满足 例)关于x的方程(a-1)x+3x-3=0 m-√2≠0 当a为时,它是一元二次方程 解析:若(a-1)x1+3ax-3=0是一元二 当m=-√2时,原方程是关于x 的一元二次方程 122解一元二次方程 (mx+n)2=b,只要方程两边同时除以a,就可 (1)知识详解大全变成(m+)P的形式 知识1直接开平方法解一元二次方程求解步骤 (1)将方程转化为x2→或(mx+n)2= 直接开平方法定义 (p≥0)的形式(即平方项的系数化为1) 通过开平方运算解一元二次方程的方法 (2)分情况求解:当p>0时,x1=-√P, 叫做直接开平方法 √p,mx2+n=√p(再进 形如x=p或(mx+n)=P(p≥0)的一元步求出x1和x2的值).当p=0时,x=x2=0; 二次方程,可直接开平方求解,(若遇到a1mx+n=0(再进一步求出x的值).当p<0时, 初中数学知识图解 方程无实数根 (a≠0)有两个相等的实数根.即x1=x2 知识2一元二次方程根的判别方式 配方法定义 通过配成完全平方形式来解一元二次方 (3)当A=b2-4ac<0时,方程ax2+bx+c=0 程的方法,叫做配方法.配方是为了降次,把 (a≠0)无实数根 元二次方程转化成两个一元一次方程 来解 0(1)使用一元二次方程根的判别 般地,如果 元二次方程通过配方应先将方程整理成一般形式,再确定a,b 转化成(x+n)2=p的形式,那么就有 c的值 (1)当p>0时,方程有两个不等的实数 (2)此判别式只适用于一元二次方程, 根 x1=-1 √p,x2=-n+√p; 当无法判定方程是不是一元二次方程时, (2)当p=0时,方程有两个相等的实数应对方程进分类讨论 根 3)当p0时,因为对任意实数x都有知识4公式法解一元二次方程 n)2≥0.所以方程无实数根 1.公式法的定义 用配方法解方程是以配方为手段,以直接 解一个具体的一元二次方程时,把各系 开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法 数直接代入求根公式,这种解一元二次方程 2.用配方法解一元二次方程的步骤 用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0的′的方法叫做公式法.它是解一元二次方程的 一般方法.一元二次方程ax2+bx+=0的求根 般步骤是 公式 (1)化二次项系数为 (2)移项