第二十章 勾股定理-2021初中数学知识图解（通用版）

第二十章勾股定理 思维导图 直角三角形的性质 勾三、股四 勾股定理 孩五 22=0+b2 C 逆定理 勾股定理 a'+b=c △ABC为直角三角形,且∠C=90 原命题与逆命题 201直角三角形与勾股定理 续表 ①知识详解大全 在直角三角形中,30°角所对 知识1直角三角形的性质 的直角边等于斜边的一半 直角三角形可以用符号 性质3 如右图所示,在△ABC中,∠ 表示“Rt△”表示,如右图所 方法示的直角三角形可以表示 C=90°,∠A=30,则BC=2ABca B 为“Rt△ABC 直角三角形的两个锐角互 e温馨提示 性质1余,如右图所示,在△ABC B ①由三角形内角和定理可推出性质1;由 中,∠C=90P,则∠A+∠B=90P 等腰三角形的判定(或矩形的性质)可推出 直角三角形斜边上的中线 性质2:由等边三角形的性质可推出性质3 等于斜边的一半 ②性质2和3主要应用于计算和证明线 段的倍分关系 如右图所示,在△ABC中 ③不要认为有一个角等于30,它所对的 ∠ACB=90°,CD为AB边 边就一定等于另一条边的一半,前提是在直角 上的中线,则CD=AB 三角形中 152 初中数学知识图解 答案:∵∠E=35°,ED⊥BC 求△ABC的面积 某学习小组经过合作交流.给出了下面的 ∠BAC=90°,AD是BC边上的中线, 解题思路,请你按照他们的解题思路完成解 DAEDE 答过程 ∠DAB=∠B=55°, 作AD⊥BC于D.设BD=x.用含x的代数 ∠BDA=180-55°55°=70° 式表示CD→根据勾股定理,将AD作为“桥梁” 方法2直接利用勾股定理解决实际建立方程求出x→利用勾股定理求出AD的长 问题的方法 再计算三角形的面积 对于实际问题,要分析问题的情境.从已1 知信息中提炼出几何图形,构造直角三角形, 由勾股定理计算出所求线段的长 例2如图,笔直的铁路上A、B两点相距25km C、D为两村庄,DA=10km,CB=15km,DA⊥1 答案:设BD=x,则CD=14-x AB于A,CB⊥AB于B,现要在AB上建一个 中转站E.使得C、D两村到E站的距离相等求 由勾股定理得AD=AB2-BD2=152-x2, E应建在距A多远处 1D2=AC2-CD2=132-(14-x)2 B 解得x=9, AD=12 S△ABC=2BC·AD=214×12=84 方法4利用勾股定理求面积 答案:设AE=x,则BE=25-x 在Rt△ADE中,由勾股定理得DE211 1.以直角三角形三边为边向外作正方形 =AD2+AE2=102+x2 (如图所示),有S1=S2+ 在Rt△BCE中,由勾股定理得CE2S3(S1,S2,S3代表 BC2+BE2=152+(5-x) 个正方形的面积,其中 由题意可知DE=CE, S1代表以斜边为一边的 所以103+x2=153+(25-x)2 正方形的面积) 2.推广:如图所示,S1,S2,S3具有相同 故E应建在距A点15km处 的关系 方法3“构造直角三角形”的方法 勾股定理是解决三角形中线段问题最有A B 效的方法之一,若图中没有含特征线段的直 角三角形,则需添加轴助线,构造满足条件:例4如图所示的涂色部分是两个正方形,图 的直角三角形 中还有一个大正方形和两个直角三角形,求两 例3在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13.涂色正方形面积的和