专题五 平面向量-【创新教程】2017-2021五年高考数学真题分类汇编（新高考）

(２)因为 ΔABC 是 锐 角 三 角 形,又 由 前 问 B＝ π３ , π ６＜A ,C＜π２ ,A＋B＋C＝π得到A＋C＝２３π ,故π ６ ＜C＜π２ ,又应用正弦定理 a sinA＝ c sinC ,由三角形面 积公式有S△ABC＝ １ ２ac 􀅰sinB＝１２c ２ a c 􀅰sinB＝ １ ２c ２ sinA sinC 􀅰sinB ＝ ３４ 􀅰 sin ２π３－C( ) sinC ＝ ３ ４ 􀅰 sin２π３cosC－cos ２π ３sinC sinC ＝ ３ ４ 􀅰 sin２π３cotC－cos ２π ３( )＝ ３ ８cotC＋ ３ ８． 又因π ６＜C＜ π ２ ,故 ３ ８＝ ３ ８cot π ２＋ ３ ８＜S△ABC＜ ３ ８cot π ６＋ ３ ８＝ ３ ２ ,故 ３ ８＜S△ABC＜ ３ ２． 故S△ABC的取值范围是 ３８ ,３ ２ æ è ç ö ø ÷． 答案:(１)π３ ;(２) ３ ８ ,３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２４．解:(１)如图,在△ABD 中, 由 正 弦 定 理 得: AB sin∠ADB ＝ BDsin４５°． ∴sin∠ADB＝ABsin４５°BD ＝ ２× ２２ ５ ＝ ２ ５． 由题意知∠ADB 为锐角, ∴cos∠ADB＝ １－ ２ ５ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ２３５ ． (２)在 △BDC 中,cos∠BDC＝sin∠ADB＝ ２５ , CD＝２ ２,由余弦定理得: BC２＝BD２＋DC２－２􀅰BD􀅰DCcos∠BDC ＝２５＋８－２×５×２ ２× ２５＝２５．∴BC＝５． ２５．解:(１)由 题 设 知 １２acsinB＝ a２ ３sinA ,即 １ ２csinB ＝ a３sinA． 由正弦定理得１ ２sinCsinB＝ sinA ３sinA 故sinBsinC＝２３． (２)由题设及(１)得cosBcosC－sinBsinC＝－１２ , 即cos(B＋C)＝－１２． 所以B＋C＝２π３ ,故A＝π３． 由题设得１ ２bcsinA＝ a２ ３sinA ,即bc＝８． 由余弦定理得b２＋c２－bc＝９,即(b＋c)２－３bc＝９, 得b＋c＝ ３３． 故△ABC的周长为３＋ ３３． ２６．解:(１)依题得:sinB＝８sin２ B２＝ ８(１－cosB) ２ ＝４ (１ －cosB)． ∵sin２B＋cos２B＝１, ∴１６(１－cosB)２＋cos２B＝１, ∴(１７cosB－１５)(cosB－１)＝０, ∴cosB＝１５１７． (２)由(１)可知sinB＝８１７． ∵S△ABC＝２, ∴１２ac 􀅰sinB＝２, ∴１２ac 􀅰８ １７＝２ , ∴ac＝１７２ , ∵cosB＝１５１７ , ∴a ２＋c２－b２ ２ac ＝ １５ １７ , ∴a２＋c２－b２＝１５, ∴(a＋c)２－２ac－b２＝１５, ∴３６－１７－b２＝１５, ∴b＝２． ２７．解:(１)由已知得tanA＝－ ３,所以A＝２π３ 在△ABC中,由余弦定理得, ２８＝４＋c２－４ccos２π３ ,即c２＋２c－２４＝０, 解得c＝－６(舍去),c＝４． (２)由题设可得∠CAD＝ π２ ,所以∠BAD＝∠BAC －∠CAD＝π６ , 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为 １ ２AB 􀅰AD􀅰sin π６ １ ２AC 􀅰AD ＝１, 又△ABC的面积为１２×４×２sin∠BAC＝２ ３ ,所以 △ABD 的面积为 ３． 专题五　平面向量 考点一 １．D　由a􀅰(a＋b)＝|a|２＋a􀅰b＝２５－６＝１９,又|a＋b|＝ a２＋２a􀅰b＋b２ ＝ ７,所 以 cos ‹a,a ＋ b›＝ a􀅰(a＋b) |a|􀅰|a＋b|＝ １９ ５×７＝ １９ ３５ ,故选 D． ２．B　∵(a－b)⊥b,∴(a－b)􀅰b＝０．即a􀅰b＝|b|２; ∴cos‹a,b›＝ a 􀅰b |a|􀅰|b|＝ |b|２ ２|b|􀅰|b|＝ １ ２． 故‹a,b›＝π３ ,故选B． ３．C　∵BC→＝AC→－AB→＝(３,t)－(２,３)＝(１,t－３), ∴|BC→|＝ １２＋(t－３)２＝１,∴t＝３,∴BC→＝(１,０), ∴AB→􀅰BC→＝(２,３)􀅰(１,０)＝２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋