第04讲分母有理化二次根式混合运算（讲+练）-【A+课堂】2021-2022学年八年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第4讲 分母有理化与二次根式混合运算 知识一、分母有理化 把分母中的根号化去，叫做分母有理化（rationalizing denominators）.分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号. 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式. 题型探究 【例1】（1）的有理化因式是___________． 【答案】 【解析】 解：∵， ∴的有理化因式为． 故答案为：． （2）的一个有理化因式是__________． 【答案】 【解析】 解：∵ ∴的一个有理化因式是． 故答案为：． （3）写出2﹣3的一个有理化因式：_____． 【答案】2+3 【解析】 解：∵，∴2﹣3的一个有理化因式2+3． 故答案为：2+3． 【例2】（1）分母有理化后得__________． 【答案】 【解析】 ， 故答案为：． （2）化简：______． 【答案】 【解析】 原式， ， ， 故答案为：． （3）分母有理化：. 【答案】或 【分析】 根据m和n是否相等分类讨论，然后分母有理化化简即可． 【解析】 解：若时， =或=； 当时， == 综上所述：=或 故答案为： 或 【例3】（1）不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 解： ∵＞0 ∴ ∴ 故答案为；． （2）不等式：的解集式_________. 【答案】. 【解析】 解： 【例4】解方程： 【答案】 【解析】 解： ， ∴原方程的解为． 举一反三 1.+的一个有理化因式是_______. 【答案】-． 【解析】 +的一个有理化因式是-， 故答案为：-． 2.的有理化因式是__________． 【答案】 【解析】 解：∵， ∴的有理化因式是． 故答案为：． 3.分母有理化：_________． 【答案】 【解析】 故答案为：． 4.分母有理化： ____________． 【答案】． 【解析】 解： = = = =． 故答案为：． 5.不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 解： 移项，得 ∵ 系数化1，得 解得： 故答案为：． 6.不等式的解集是 _____________ 【答案】 【解析】 解：∵， ∴，即， 故答案为：. 知识二、混合运算 二次根式的混合运算方法和顺序： 1. 方法;（1）应用二次根式乘法、除法和加减法运算法则; （2）在实数范围内运算律仍适用; （3）二次根式的乘法与多项式乘法类似，如需运用多项式乘法公式，也可运用乘法公式. 2.顺序;先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的. （1）型，运用分配律化简. （2）型，可类比多项式乘多项式进行计算，即 （3） （4） （5） 题型探究 【例5】（1）化简：． 【答案】3﹣1 【解析】 解：原式＝． （2）计算： 【答案】 【解析】 解：原式 （3）计算：； 【答案】2 【解析】 解： = = =2． （4）计算：． 【答案】3 【解析】 解：原式＝， ， ， ． （5）计算： 【答案】 【解析】 解： 【例6】已知，求代数式的值． 【答案】-3 【解析】 解： 当时 原式= 【例7】求的值 解：设x＝， 两边平方得：x2＝（）2+（）2+2， 即x2＝3++3﹣+4，x2＝10 ∴x＝±． ∵＞0， ∴＝ 请利用上述方法，求的值． 【答案】 【解析】 解：设x＝， 两边平方得：x2＝（）2+（）2+2， 即x2＝9++9﹣+16，x2＝34 ∴x＝±． ∵＞0， ∴＝. 举一反三 1.计算：． 【答案】4﹣2 【解析】 解：原式＝3﹣4+4﹣3+2 ＝4﹣2． 2.． 【答案】 【解析】 解： 3.计算： 【答案】5 【解析】 解：原式 ． 4.计算：（1）； （2）若，求（1）中代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 解：（1）原式= =； （2）∵，， ∴，， ∴原式= =． 5.解不等式： 【答案】 【解析】 解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：， ∴， ∴， ∴原不等式解集为． 6.已知a＝，求的值． 【答案】，3 【解析】 解： ， ， ＜ 原式 ＝3． 7.若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】 【解析】 解：由， ∵＜＜，即6＜4＜7， ∴7+4的整数部分为13，小数部分为7+4-13=， 又因为整数部分是，小数部分是 则=13，= =． 8.阅读理解：已知a=，求2a2-8a+1的值． ∵a==， ∴a-2=． ∴（a-2）2=3，即a2-4a+4=3． ∴a2-4a=-1． ∴2a2-8a+1=2（a2-4a）+1=2×（-1）+1=-1． 请根据以上解答过程，解决如下问题： （1）计算：____． （2）计算：； （3）若a=，求2a2+12