专题03 二次根式的加减重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题03 二次根式的加减重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减运算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 分母有理化 题型五 已知字母的值，化简求值 题型六 已知条件式，化简求值 题型七 比较二次根式的大小 题型八 二次根式的实际应用 题型九 二次根式的新定义问题 题型十 二次根式的阅读理解类问题 知识点1： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点2： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点3：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【经典例题一 同类二次根式】 【例1】（22-23八年级下·江西南昌·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·上海·阶段练习）下列各组根式中，不是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）若与最简二次根式能合并成一项，则a= ． 3．（22-23七年级下·山东济宁·阶段练习）比较大小. (1)与6 (2)与 【经典例题二 二次根式的加减运算】 【例2】（23-24八年级下·北京大兴·期中）下列各式中，从左向右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·四川达州·模拟预测）估计的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 2．（22-23八年级下·山东济南·期中）实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ． 3．（23-24八年级下·陕西安康·期中）计算：． 【经典例题三 二次根式的混合运算】 【例3】（23-24八年级下·福建福州·期中）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 1．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长a，b，c求三角形面积的“秦九韶公式”，即．已知在中，，，，则b边上的高为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）已知，，则 ． 3．（23-24八年级下·新疆克孜勒苏·期末）计算： (1)； (2)． 【经典例题四 分母有理化】 【例4】 （22-23九年级下·湖北武汉·自主招生）已知那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·上海普陀·期中）已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式 2．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）化简： ， ， ． 3．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）材料：将分母有理化，解：原式．运用以上方法解决问题：已知． (1)将分母有理化； (2)求． 【经典例题五 已知字母的值，化简求值】 【例5】（22-23八年级下·河北承德·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·湖南益阳·期末）设，，，……，．其中n为正整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·四川自贡·期末）已知，则的值为 ． 3．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）（1）已知：，求的值． （2）先化简，再求值：，其中． 【经典例题六 已知条件式，化简求值】 【例6】（2023九年级·北京·专题练习）如果m2+m0，那么代数式（1）的值是（　　） A． B．2 C．+ 1 D．+ 2 1．（22-23八年级·全国·假期作业）已知x+y＝﹣5，xy＝4，则x+y的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 2．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）已知，则代数式 ． 3．（22-23八年级下·安徽安庆·期中）已知，，求的值． 【经典例题七 比较二次根式的大小】 【例7】（23-24八年级上·河北邯郸·期中）比较大小错误的是（    ） A．＜ B．＋2＜﹣1 C．＞﹣6 D．|1－|＞－1 1．（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）比较：（    ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 2．（22-23八年级上·上海·阶段练习）比较大小： （填上“＞”或“＜”） 3．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题． ，，，，…… (1)观察上面的规律，计算下面的式子： (2)利用上面的规律，试比较与的大小． 【经典例题八 二次根式的实际应用】 【例8】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 1．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为 ． 3．（23-24八年级下·广东东莞·期末）我们已经学过一个三角形已知底边长为a，高为h，则这个三角形的面积为，古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则有下列面积公式． 海伦公式：，其中 秦九韶公式：． (1)一个三角形的三边长分别为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积； (2)一个三角形的三边长分别为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积． 【经典例题九 二次根式的新定义问题】 【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用表示数对，给出如下定义：记，（，），将与称为数对的一对“对称数对”．例如：的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是______和______； (2)若数对的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值； (3)若数对的一对“对称数对”的其中一个数对是，求的值． 1．（2023下·重庆江津·八年级校联考期中）对于任意非负数、，若定义新运算：，在下列说法中：①；②；③；④若，则的取值范围为，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2023上·辽宁辽阳·八年级统考期末）对于任意正数，，定义运算“*”为:，如，则的运算结果为 ． 3．（2023下·湖北咸宁·八年级校考期末）定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出，的“如意数”． (2)如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． (3)已知，且，的“如意数”，求的值． 【经典例题十 二次根式的阅读理解类问题】 【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：　　，　　； (2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空： ； (3)若且a、m、n均为正整数，求a的值． 1．（2023下·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请根据上述方法分析下列结论： ①； ②若，，则； ③，且，则 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2、（2023上·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）[阅读与计算]：求三边长分别为a、b、c的三角形的面积S．古希腊几何学家海伦在《度量》一书中给出了“海伦公式”：（其中）；我国南宋数学家秦九韶在《数学九章》中提出三斜求积术：；若一个三角形的三边长分别是、、，请选择一种方法求这个三角形的面积． 3（2023上·吉林长春·九年级统考期末）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列各式的分母有理化： ①； ②． （3）化简：． 1．（22-23八年级上·四川·阶段练习）下列二次根式中，能与合并的是（ ） A． B． C． D． 2．（2024·云南昆明·三模）估算式子的值最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知，，则的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 4．（22-23八年级下·全国·单元测试）比较大小：2，，的大小顺序是(　 　) A．2＜＜ B．2＜＜ C．＜2＜ D．＜＜2 5．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“三角形的面积＝底×高÷2”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求取三角形面积，用现代式子可表示为：S＝（其中a、b、c为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝，AD＝，对角线BD＝，则平行四边形ABCD的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，，，则的值是 ． 7．（22-23八年级上·四川雅安·期中）比较大小： （用或填空） 8．（22-23八年级上·上海·期中）如果最简二次根式和是同类二次根式，那么 ． 9．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 10．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则 ． 11．（2024·江苏苏州·一模）先化简、再求值：，其中． 12．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）（1）计算： （2）化简： 13．（22-23八年级·全国·假期作业）分别求出满足下列条件的字母a的取值： (1)若最简二次根式与﹣是同类二次根式； (2)若二次根式与﹣是同类二次根式． 14．（2024八年级下·全国·专题练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，∵，则，∴． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，c d（填写＞，＜或者＝）． (2)猜想 ，之间的大小，并证明． (3)化简： （直接写出答案）． 15．（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建两个形状、大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为 米，宽为 米． (1)求长方形的周长（结果化为最简二次根式）． (2)除去修建花坛的地方，其他位置全部修建为通道，通道上要铺上造价为26 元/平方米的地砖．要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少钱? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次根式的加减重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减运算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 分母有理化 题型五 已知字母的值，化简求值 题型六 已知条件式，化简求值 题型七 比较二次根式的大小 题型八 二次根式的实际应用 题型九 二次根式的新定义问题 题型十 二次根式的阅读理解类问题 知识点1： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点2： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点3：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【经典例题一 同类二次根式】 【例1】（22-23八年级下·江西南昌·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则逐一判断即可得答案． 【详解】A.和不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误，不符合题意， B.2和不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误，不符合题意， C.，故该选项计算错误，不符合题意， D.，故该选项计算正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式，熟练运用二次根式的运算法则是解题关键． 1．（22-23八年级上·上海·阶段练习）下列各组根式中，不是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据题意，将它们化成最简二次根式比较被开方数是否相同， 【详解】A．和被开方数都是3，故A不符合题意； B.和被开方数都是2，故B不符合题意； C.和被开方数不同，故C符合题意； D.和被开方数都是5，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 2．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）若与最简二次根式能合并成一项，则a= ． 【答案】4 【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：=2， 由最简二次根式与能合并成一项，得 a-1=3． 解得a=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查同类二次根式和最简二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式． 3．（22-23七年级下·山东济宁·阶段练习）比较大小. (1)与6 (2)与 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实数的大小比较法则即可得； （2）将两个数作差，根据实数的运算法则、无理数的估算即可得． 【详解】（1）解：， ， 即． （2）解： ， ， ，即， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了实数的大小比较、无理数的估算、实数的运算，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键． 【经典例题二 二次根式的加减运算】 【例2】（23-24八年级下·北京大兴·期中）下列各式中，从左向右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减法、算术平方根的性质． 根据二次根式的性质、二次根式的加减法逐项判断即可解答． 【详解】解：A、变形正确，故A选项符合题意； B、，故B说法错误，不符合题意； C、 ，故C说法错误，不符合题意； D、，故D说法错误，不符合题意． 故选A． 1．（2024·四川达州·模拟预测）估计的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的加减运算，估算无理数的大小．把化简变形为是解题的关键． 把化简变形为，根据，即可求得．即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 故选：C． 2．（22-23八年级下·山东济南·期中）实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】先利用数轴确定出，的正负情况，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，性质：，判断出，的正负情况是解题的关键． 3．（23-24八年级下·陕西安康·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 对二次根式进行化简后再相加减即可． 【详解】解： ． 【经典例题三 二次根式的混合运算】 【例3】（23-24八年级下·福建福州·期中）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式混合运算、无理数估算等知识，先利用二次根式混合运算化简，再由无理数估算方法求解即可得到答案，熟练掌握逼近法估算无理数是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ，则， ， 的值应在6和7之间， 故选：C． 1．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长a，b，c求三角形面积的“秦九韶公式”，即．已知在中，，，，则b边上的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据题意把，，代入求得的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：由题意得，，，， ， ∴b边上的高为， 故选：A． 2．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，先计算和的值，再计算，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·新疆克孜勒苏·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行加减运算即可； （2）先利用平方差公式运算，再计算乘方和减法即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【经典例题四 分母有理化】 【例4】 （22-23九年级下·湖北武汉·自主招生）已知那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倒数法比较大小即可． 【详解】解：∵ ∴，，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较，分母有理化，掌握倒数法比较大小的方法是解题关键． 1．（22-23八年级上·上海普陀·期中）已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式 【答案】A 【分析】求出a与b的值即可求出答案． 【详解】解：∵a＝＝+2，b＝2+， ∴a＝b， 故选：A． 【点睛】本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a与b的值，本题属于基础题型． 2．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）化简： ， ， ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质及分母有理化进行化简即可得． 【详解】解：，，， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了二次根式的性质及分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的性质． 3．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）材料：将分母有理化，解：原式．运用以上方法解决问题：已知． (1)将分母有理化； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照示范例子，进行计算化简即可； （2）根据完全平方公式变形计算即可． 本题考查了分母有理化，完全平方公式的应用，熟练掌握进行分母有理化计算是解题的关键． 【详解】（1）， ． （2）∵， ∴， ∴． 【经典例题五 已知字母的值，化简求值】 【例5】（22-23八年级下·河北承德·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原式变形为，然后将的值代入计算即可． 【详解】解：， ． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，代数式求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质． 1．（22-23八年级上·湖南益阳·期末）设，，，……，．其中n为正整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先求出，然后把代数式进行化简，再进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵n为正整数， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； ∴ ＝（1+）+（1+）+（1+）+…+（1+） ＝2021+1﹣ ＝2021+1﹣ ＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分数化成，再化简，寻找抵消规律求和． 2．（22-23八年级下·四川自贡·期末）已知，则的值为 ． 【答案】-14 【分析】先计算出x-y，xy的值，再把变形代入即可求解． 【详解】解：∵   ∴，； ∴． 故答案为：-14 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，根据x、y的值的特点和所求分式的特点进行正确变形，熟知相关运算公式，法则是解题关键，本题也可以直接代入计算，但运算量比较大． 3．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）（1）已知：，求的值． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）4；（2），． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值： （1）根据进行求解即可； （2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ ； （2） ， 当时，原式． 【经典例题六 已知条件式，化简求值】 【例6】（2023九年级·北京·专题练习）如果m2+m0，那么代数式（1）的值是（　　） A． B．2 C．+ 1 D．+ 2 【答案】A 【分析】先进行分式化简，再把m2+m代入即可. 【详解】解：（1） ＝m2+m， ∵m2+m0， ∴m2+m， ∴原式， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 1．（22-23八年级·全国·假期作业）已知x+y＝﹣5，xy＝4，则x+y的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【答案】B 【分析】先把二次根式进行化简，然后把xy＝4，代入计算，即可求出答案． 【详解】解：∵x+y＝﹣5＜0，xy＝4＞0， ∴x＜0，y＜0， ∴原式＝ ＝ ＝﹣2， ∵xy＝4， ∴原式＝﹣2＝﹣2×2＝﹣4； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算． 2．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）已知，则代数式 ． 【答案】或 【分析】分x＞0，y＜0和x＜0，y＞0两种情况，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：当x＞0，y＜0时， 原式=， 当x＜0，y＞0时， 原式=， 故答案为：或. 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 3．（22-23八年级下·安徽安庆·期中）已知，，求的值． 【答案】18 【分析】先将条件变形为：，，然后将结论变形，最后将化简后的条件代入变形后的式子就可以求出其值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ab＝1，， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式的分母有理化，完全平方公式 的运用，正确求出，是解答本题的关键． 【经典例题七 比较二次根式的大小】 【例7】（23-24八年级上·河北邯郸·期中）比较大小错误的是（    ） A．＜ B．＋2＜﹣1 C．＞﹣6 D．|1－|＞－1 【答案】D 【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可． 【详解】A、由于5<7，则＜，故正确； B、由于＋2<6+2=8，而8=9-1<－1，则＋2＜﹣1，故正确； C、由于，则，故正确； D、由于，故错误． 故选：D 【点睛】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键． 1．（22-23八年级下·广东东莞·阶段练习）比较：（    ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 【答案】B 【分析】把二次根式变形后比较被开方数即可. 【详解】解：=，=， ∵45<75， ∴<． 即<， 故选：B 【点睛】此题考查了二次根式的大小比较，掌握被开方数越大，算术平方根就越大是解决此题的关键. 2．（22-23八年级上·上海·阶段练习）比较大小： （填上“＞”或“＜”） 【答案】＞ 【分析】利用它们的倒数来进行比较． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 故答案为：＞ 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是通过比较它们的倒数进行比较大小． 3．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题． ，，，，…… (1)观察上面的规律，计算下面的式子： (2)利用上面的规律，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握公式，正确进行分母有理化是解题的关键． （1）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ． （2）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ． 【详解】（1）∵，，，， ∴ ． （2）∵,, ∴, , ∵, ∴, ∴． 【经典例题八 二次根式的实际应用】 【例8】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，根据二次根式的性质求出正方形的边长即可求解，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意得，大正方形的边长， 小正方形的边长， ∴阴影部分的面积， 故选：C． 1．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长减去大正方形的边长， 重叠部分也是正方形， 三个小正方形的面积分别为48，32，8， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故选：A． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】24 【分析】此题考查了二次根式的应用，利用二次根式化简求出两个小正方形的边长，得到大正方形的边长，求出大正方形的面积，即可得到阴影面积，正确掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴图中阴影部分面积为 故答案为24． 3．（23-24八年级下·广东东莞·期末）我们已经学过一个三角形已知底边长为a，高为h，则这个三角形的面积为，古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则有下列面积公式． 海伦公式：，其中 秦九韶公式：． (1)一个三角形的三边长分别为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积； (2)一个三角形的三边长分别为，，，任选以上一个公式求这个三角形的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）先由题意得出，再根据海伦公式计算即可得出答案； （2）先求出，，，再由秦九韶公式即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 由海伦公式，得； （2）解：∵，，， ∴，，， 由秦九韶公式，得． 【经典例题九 二次根式的新定义问题】 【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用表示数对，给出如下定义：记，（，），将与称为数对的一对“对称数对”．例如：的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是______和______； (2)若数对的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值； (3)若数对的一对“对称数对”的其中一个数对是，求的值． 【答案】(1)(，2)和(2，) (2) (3) 【分析】（1）根据题意将a=25，b=4代入，即可； （2）(3，y)）的一对“对称数对”的两个数对相同说明相等，求出y即可； （3）将数对的一对“对称数对”求出来，即得出，解出x即可． 【详解】（1）∵，， ∴数对的一对“对称数对”是(，2)和(2，)． 故答案为：(，2)和(2，)； （2）∵数对的一对“对称数对”的两个数对相同， ∴， 解得：； （3）∵， ∴数对的“对称数对”分别为(，)和(，)． ∵数对的一对“对称数对”的其中一个数对是， ∴只可能为， 解得：． 【点睛】本题考查新定义题型，严格按照新定义要求，结合学过的相关知识根据题意列方程求解是解决问题的关键． 1．（2023下·重庆江津·八年级校联考期中）对于任意非负数、，若定义新运算：，在下列说法中：①；②；③；④若，则的取值范围为，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用新运算的定义对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：①， ， ①的说法正确； ②等式的左边 ． 等式的右边． 等式成立， ②的说法正确； ③当时， 左边 右边， 当时， 左边 右边， 综上，③的说法正确； ④ ， 由题意可知：， ， ④的说法不正确． 综上，说法正确的有①②③， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，分母有理化，本题是新定义型，理解新定义的规定，并熟练应用是解题的关键． 2．（2023上·辽宁辽阳·八年级统考期末）对于任意正数，，定义运算“*”为:，如，则的运算结果为 ． 【答案】 【分析】先根据新运算法则计算与，再计算乘法即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解新运算法则是解题的关键． 3．（2023下·湖北咸宁·八年级校考期末）定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出，的“如意数”． (2)如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． (3)已知，且，的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）根据题目中所给的运算规则计算出“如意数”c后，把所得的式子化为完全平方式的形式即可判定“如意数”c的大小； （3）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 【经典例题十 二次根式的阅读理解类问题】 【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：　　，　　； (2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空： ； (3)若且a、m、n均为正整数，求a的值． 【答案】(1)， (2)13，4，1，2 (3)14或46 【分析】（1）根据上面的例子，将，按完全平方展开，可得出答案； （2）由（1）可写出一组答案，不唯一； （3）将展开得出，由题意得，，再由a、m、n均为正整数，可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； 故答案为：，． （2）由（1）可得，，，； 故答案为：13，4，1，2． （3）∵， ∴， ∴，， ∵a、m、n均为正整数， ∴，，或，，； 故答案为：14或46． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，分析所给的材料进行解答是解题的关键． 1．（2023下·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请根据上述方法分析下列结论： ①； ②若，，则； ③，且，则 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①根据题干中给出的信息进行分母有理化，即可判断； ②先化简a、b，然后代入求值即可； ③先化简a、b，然后将a、b代入，求出即可． 【详解】解：①，故①正确； ②， ， ∴ ，故②正确； ③ ， ， ∵， ∴， ∴， 即， ， ∴， ∴，故③正确； 综上分析可知，正确的个数是3个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 2、（2023上·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）[阅读与计算]：求三边长分别为a、b、c的三角形的面积S．古希腊几何学家海伦在《度量》一书中给出了“海伦公式”：（其中）；我国南宋数学家秦九韶在《数学九章》中提出三斜求积术：；若一个三角形的三边长分别是、、，请选择一种方法求这个三角形的面积． 【答案】3 【分析】方法一：一个三角形的三边长分别是、、，令，再代入进行计算即可； 方法二：一个三角形的三边长分别是、、，令，再代入进行计算即可． 【详解】方法一： 解：∵一个三角形的三边长分别是、、， 令， ∴， ∴， ， ， ∴ ． 方法二： ∵一个三角形的三边长分别是、、， 令， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，三角形的面积的计算，准确的进行计算是解本题的关键． 3（2023上·吉林长春·九年级统考期末）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列各式的分母有理化： ①； ②． （3）化简：． 【答案】（1）；；（2）①；②；（3）2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化： （1）根据有理化因式定义求解； （2）①②利用分母有理化计算； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）的有理化因式是（答案不唯一）；的有理化因式是. 故答案为：（答案不唯一）；； （2）①. ②.     （3） . 1．（22-23八年级上·四川·阶段练习）下列二次根式中，能与合并的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为2的二次根式即可． 【详解】能与合并的是的同类二次根式． A选项：无法合并，故A错误； B选项：无法合并，故B错误； C选项：无法合并，故C错误； D选项：可以合并，故D正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 2．（2024·云南昆明·三模）估算式子的值最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算． 根据二次根式的混合计算法则化简后，估算即可得到结果． 【详解】解： ∵，， ∴，即， 故最接近的整数是5． 故选C． 3．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知，，则的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，涉及二次根式性质、二次根式减法运算、由式子判断字母符号等知识，先由题中条件判断，再由二次根式性质对所求代数式变形化简，最后代值求解即可得到答案，熟练掌握二次根式性质及运算是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 当时，原式， 故选：B． 4．（22-23八年级下·全国·单元测试）比较大小：2，，的大小顺序是(　 　) A．2＜＜ B．2＜＜ C．＜2＜ D．＜＜2 【答案】B 【详解】解：，．∵14＜15.5＜17，∴，∴．故选B． 5．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“三角形的面积＝底×高÷2”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求取三角形面积，用现代式子可表示为：S＝（其中a、b、c为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝，AD＝，对角线BD＝，则平行四边形ABCD的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件的公式计算即可； 【详解】根据题意可知：a＝，b＝，c＝， ∴S＝， ＝， ， ， ， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，准确分析计算是解题的关键． 6．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，，，则的值是 ． 【答案】 【分析】首先根据a＋b＝−8，和ab＝10确定a和b的符号，然后对根式进行化简，然后代入求解即可． 【详解】解： 原式= 则原式= 故答案为：. 【点睛】本题考查了根式的化简求值，正确确定a和b的符号是解决本题的关键． 7．（22-23八年级上·四川雅安·期中）比较大小： （用或填空） 【答案】< 【分析】先把两个式子分母有理化，再比较化简后的结果的大小，从而得到原式的大小关系． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 故答案是：<． 【点睛】本题考查二次根式的化简和大小比较，解题的关键是掌握二次根式的化简方法和比较大小的方法． 8．（22-23八年级上·上海·期中）如果最简二次根式和是同类二次根式，那么 ． 【答案】3 【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方求解． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式 ∴ ∴ 故答案为:3 【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 9．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 【答案】5 【分析】先进行分母有理化，因为，由此得到，即可求解． 【详解】解： 故答案为：5 ． 【点睛】此题考查估算无理数的大小，解题关键在于得到的整数部分． 10．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的等式．根据各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等可得，求出、、的值即可求解． 【详解】解：各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等， ， 解得：，，， ， 故答案为：． 11．（2024·江苏苏州·一模）先化简、再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键．根据运算法则进行化简，再将数值代入即可得到答案． 【详解】解：原式 当时， 原式 ． 12．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）（1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题主要考查二次根式的加减法和二次根式的性质： （1）原式首先去括号，再将二次根式化简后合并即可得到结果； （2）根据条件得出，，再将原式化为，再去绝对值符号即可 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴，， ∴ 13．（22-23八年级·全国·假期作业）分别求出满足下列条件的字母a的取值： (1)若最简二次根式与﹣是同类二次根式； (2)若二次根式与﹣是同类二次根式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案； （2）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案． 【详解】（1）∵﹣＝﹣2，最简二次根式与﹣是同类二次根式， ∴3a＝2， 解得． （2）∵二次根式与﹣是同类二次根式， ∴3a＝2n2， 解得a＝． 【点睛】考查了同类二次根式和最简二次根式．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 14．（2024八年级下·全国·专题练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，∵，则，∴． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，c d（填写＞，＜或者＝）． (2)猜想 ，之间的大小，并证明． (3)化简： （直接写出答案）． 【答案】(1) (2)，证明过程见解析 (3)4或 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的大小比较和化简二次根式，解题的关键是熟练运用题干中“平方法”，第（3）题注意分情况讨论． （1）根据题干中“平方法”比较实数大小； （2）根据题干中“平方法”比较二次根式的大小； （3）根据题干中“平方法”找出，，再利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方分类讨论得出答案． 【详解】（1）解：∵， 则， ∴； 故答案为：>． （2）解：猜想：， 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴ ∵ ∴， 分情况讨论： ①若，即时， 原式； ②若，即时， 原式， 综合①②得： 当时，原式； 当时，原式； 故答案为：4或． 15．（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建两个形状、大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为 米，宽为 米． (1)求长方形的周长（结果化为最简二次根式）． (2)除去修建花坛的地方，其他位置全部修建为通道，通道上要铺上造价为26 元/平方米的地砖．要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少钱? 【答案】(1)长方形的周长为米 (2)要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【详解】（1）解：（米）， ∴长方形的周长为米． （2） （平方米）， 则（元）， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元． 学科网（北京）股份有限公司 $$