专题01 函数与导数问题-2022年高考数学（理）常考专题突破精练

专题01　函数与导数问题 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),g(x)=-x2-x.若f(x)=g(x)h(x),h(x)为一元二次函数,f(x)的最高次项的系数为-1,则f(x)的极小值点为 (　　) A.x=1 B.x=1+ C.x=1- D.x=1+或1- 2.已知函数f(x)=x+e-x,若存在x∈R,使得f(x)≤ax成立,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,1-e] B.(1,+∞) C.(1-e,1] D.(-∞,1-e]∪(1,+∞) 3.已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于直线x=1对称,其导函数为f '(x),当x<1时,2f(x)+(x-1)f '(x)<0,那么不等式(x+1)2f(x+2)>f(2)的解集为 (　　) A.(-∞,0) B.(-∞,-2) C.(-2,0) D.(-∞,-2)∪(0,+∞) 4.若函数f(x)=m-x2+2ln x在[,e]上有两个不同的零点,则实数m的取值范围为 (　　) A.(1,e2-2] B.[4+,e2-2] C.(1,4+] D.[1,+∞) 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.已知函数f(x)=ex+2x2-4x(e为自然对数的底数),则函数f(x)的图象在x=1处的切线方程是　.  6.已知函数f(x)=ln(x+1)-2的图象的一条切线为y=ax+b,则的最小值是　　　　.  三、解答题(共48分) 7.(12分)已知f(x)=x2-2ax+ln x. (1)当a=1时,求f(x)的单调性; (2)若f '(x)为f(x)的导函数, f(x)有两个不相等的极值点x1,x2(x1<x2),求2f(x1)-f(x2)的最小值. 8.(12分)已知函数f(x)=(x>0,a∈R). (1)讨论函数f(x)的零点的个数; (2)若函数g(x)=ex-ln x+2x2+1,且对于任意的x∈(0,+∞),总有xf(x)≤g(x)成立,求实数a的最大值. 9.(12分)已知函数f(x)=aln x-x+2,a∈R. (1)若函数f(x)有极值点,求a的取值范围; (2)若对任意的x1∈[1,e],总存在x2∈[1,e],使得f(x1)+f(x2)=4,求实数a的值. 10.(12分)已知函数f(x)=e1-x,g(x)=x2+ax-a(a∈R)(e为自然对数的底数). (1)求证:当a≥-2且x<1时,f(x)>g(x); (2)判断“a≤-4”是“φ(x)=f(x)·g(x)存在最小值”的什么条件,并予以证明. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题01　函数与导数问题 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),g(x)=-x2-x.若f(x)=g(x)h(x),h(x)为一元二次函数,f(x)的最高次项的系数为-1,则f(x)的极小值点为 (　　) A.x=1 B.x=1+ C.x=1- D.x=1+或1- 1.A　解法一　由题易知0,-1为方程g(x)=0的根,则0,-1为函数f(x)的零点.由于f(x)=f(2-x),即函数f(x)的图象关于直线x=1对称,则2,3也为函数f(x)的零点,所以f(x)=-(x+1)x(x-2)(x-3)= -[x(x-2)][(x+1)(x-3)]=-(x2-2x)(x2-2x-3),f '(x)=-(2x-2)(x2-2x-3)-(x2-2x)(2x-2)=-4(x-1)(x2-2x-)= -4(x-1)(x-1+)(x-1-),令f '(x)>0,得x<1-或1<x<1+,令f '(x)<0,得1-<x<1或x>1+,所以x=1为函数f(x)的极小值点,故选A. 解法二　由题易知0,-1为方程g(x)=0的根,则0,-1为函数f(x)的零点.由于f(x)=f(2-x),即函数f(x)的图象关于直线x=1对称,则2,3也为函数f(x)的零点,所以f(x)=-(x+1)x(x-2)(x-3).把函数f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的图象对应的函数为m(x)=f(x+1)=-(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)= -(x2-1)(x2-4)=-(x4-5x2+4),m'(x)=-4x(x2-)=-4x(x-)(x+),令m'(x)>0,则x<-或0<x<,令m'(x)<0,则-<x<0或x>,所以x=0为函数m(x)的极小值点,则x=1为函数f(x)的极小值点,故选A. 2.已知函数f(x)=x+e-x,若存在x∈R,使得f(x)≤ax成立,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,1-