第05讲公因数与最大公因数-【A+课堂】2021-2022学年六年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第5讲 公因数与最大公因数 知识一、公因数与最大公因数的概念 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，称为这几个数的最大公因数. 题型探究 【例1】求下列各组数的最大公因数∶ （1）17和51; （2）23和 32. 【答案】（1）17；（2）1. 【解析】（1）因为51是 17 的倍数（或 51=17×3），所以17 和 51 的最大公因数是 17. （2）因为 23=1×23， 32=2×2×2×2×2 ，所以 23 和 32 的最大公因数是1. 知识二、互素 如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素. 注意：（1）互素是指两个数之间的关系，与素数没有互为因果的联系，在以下情况可以直接判断两个数是互素;①两个不同的素数是互素;②1 和任何正整数是互素;③两个相邻的正整数是互素;④一个素数和一个合数，目没有倍数关系，它们是互素. （2）素数、素因数和互素的区别： 当一个数除了1和本身以外没有别的因数时称这个数为素数. 而两个数互素是指两数之间的关系，当两 因数 1 时，称这两个数为互素，当一个数的因数是素数时，称这个因数是这个数的素因数. 题型探究 【例2】（2020·全国课时练习）下面哪一组中的两个数互素？ （1）9和12； （2）27和28； （3）7和22； （4）11和19． 【答案】（1）不互素；（2）互素；（3）互素；（4）互素 【解析】解：（1）不互素，9和12都能被3整除，即有公因数3 （2）27和28是相邻的两个正整数，互素． （3）7是素数，22是合数，且没有倍数关系，所以它们互素． （4）11和19是两个不同的素数，互素． 举一反三 1.（2020·全国课时练习）10的因数中，两两互素的有（ ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【解析】 10的因数由1，2，5，10， 互为素数的是2，5；1，2；1，5；1，10， 共有4组， 故选：C． 2.（2020·全国）下列说法中正确的是（ ） A．合数都是偶数 B．两个不同的素数一定互素 C．偶数不会是素数 D．整数分为合数和素数 【答案】B 【解析】 A、9是合数，是奇数，不是偶数，则此项说法错误； B、两个不同的素数一定互素，此项说法正确； C、2既是偶数也是素数，则此项说法错误； D、整数分为合数、0、素数，则此项说法错误； 故选：B． 3.（2020·全国课时练习）40和56的公因数有________________，最大公因数为________________． 【答案】1，2，4，8 8 【解析】 40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40， 56的因数有：1、2、4、7、8、14、28、56， 所以40和56的公因数有：1，2，4，8； 最大公因数是：8； 故答案为：1，2，4，8；8． 知识三、求最大公因数的方法 （1）列举法：分别列出两个数的因数，从公因数中找出它们的最大公因数。 （2）分解素因数法：把两个数分解素因数，最大公因数就是它们公有素因数的乘积， （3）短除法：用两个数的公因数去除，除到商是互素为止，所有除数的乘积就是这两个数的最大公因数 （4）特征法：如果两个数是互素，它们的最大公因数是 1. 如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数 题型探究 【例3】（1）（2020·全国课时练习）用三种不同的方法求24和60的最大公因数． 【答案】12 【解析】 解：（方法一） 24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24； 60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60． 24和60的公因数有：1，23，4，6，12，最大公因数为12． （方法二） 把24和60分别分解素因数： ，， 由此可知公有的素因数是2，2，3，24和60的最大公因数是． （方法三） 或 把所有的除数乘起来，得24和60的最大公因数，即． （2）（2020·全国课时练习）求下列各组数的最大公因数． （1）6、18和30 （2）14、56和98 【答案】（1）6；（2）14 【解析】 解：（1） 则6、18和30的最大公因数是． （2） 则14、56和98的最大公因数是． 【例4】（1）（2020·全国课时练习）如果两个数互素，那么它们的最大公因数是（ ） A．较大数 B．较小数 C．1 D．它们的乘积 【答案】C 【解析】 如果两个数互素，那么它们最大的公因数是1； 故选：C． （2）（2020·全国课时练习）甲数是乙数的15倍，这两个数的最大公因数是（ ） A．15 B．甲数 C．乙数 D．甲数×乙数 【答案】C 【解析】 因为甲数是乙数的15倍， 所以这两个数的最大公因数是乙数． 故选：C． （3）（2