第02讲最简二次根式与同类二次根式（讲+练）-【A+课堂】2021-2022学年八年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第2讲 最简二次根式与同类二次根式 知识一、最简二次根式 1）被开方数中各因式的指数都为1； 2）被开方数不含分母. 被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 【例1】判断下列二次根式是不是最简二次根式： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）不是. 【解析】（1）因为被开方数数含分母3，所以不是最简二次根式. （2）被开方数分解为：42a=2×3×7×a，可知是最简二次根式. （3）因为被开方数含因数22、x3，它们的指数不为1，所以不是最简二次根式. （4）将被开方数分解因式：3（a2+2a+1）=3(a+1)2,其中因式（a+1）的指数为2，所以不是最简二次根式. 总结:最简二次根式满足下面三个条件： （1）被开方数中的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （3）分母中不含根号。 【例2】将下列二次根式化成最简二次根式： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1），已知y>0,又由4x3y2≥0,可知x≥0，所以 （2） 已知a≥b≥0,可知a+b≥0，所以 （3） 已知m>n>0,可知m-n>0,所以 总结:把一个二次根式化成最简二次根式.主要是进行以下两种变形; 一是把根号内开得尽平方的因式移到根号外;二是化去根号内的分母.一个二次根式至多经过上述两步，就能化为最简二次根式. 举一反三 1．下列各式是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 解：A、为最简二次根式； B、不是最简二次根式； C、不是最简二次根式； D、不是最简二次根式； 故选：A． 2.下列根式中属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 解：A、是最简二次根式，正确； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D错误； 故选：A． 3.若是最简二次根式，则a的值可能是（　　） A．﹣3 B．5 C． D．8 【答案】B 【解析】 解：A.∵﹣3＜0， ∴选项A无意义，故不符合题意； B.∵是最简二次根式， ∴选项B符合题意； C.∵＝，∴不是最简二次根式， ∴选项C不符合题意； D.∵＝2，∴不是最简二次根式， ∴选项D不符合题意． 故选：B． 4.在中，最简二次根式有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】 不能化简，符合题意； ，本选项不合题意； ，本选项不合题意； ，本选项不合题意；故最简二次根式个数为1个， 故选：A． 5.把下列各式化成最简二次根式． （1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【解析】 (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ． 知识二、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 在多项式中，同类项是可以合并的，类似的，同类二次根式也可以合并，它的依据是提取公因式. 总结:（1）判断几个二次根式是不是同类二次根式，应先将每个二次根式进行化简，化成最简二次根式（即被开方数中不含分母，且被开方数中不含有可开方的因数或因式）以后，再看被开方数是否相同. （2）若已知几个最简二次根式（或者几个二次根式已经化简）是同类二次根式，我们可以得到如下信息，这几个根式的根指数都是 2，这几个根式的被开方数相等，从而列出方程. （3）若已知两个二次根式是同类二次根式，如和是同类二次根式，则被开方数不一定相等，如 和是同类二次根式，但 12≠27，这一点一定要注意. （4）将一个二次根式化成最简二次根式，要用到积，商的算术平方根的性质. 【例3】二次根式，，，中，与是同类二次根式的是__________ 【答案】 【解析】 解： ，，，， 所以与是同类二次根式的是． 故答案为：． 【例4】合并下列各式中的同类二次根式： （1）． 【答案】 【解析】 原式 ． （2） 【答案】. 【解析】 解： = =. （3） 【答案】. 【解析】 解： 总结:合并同类二次根式 法则：将同类二次根式的系数相加减，被开方数（式）和根指数保持不变. （1）加法运算律仍然适用于二次根式的运算. （2）不是同类二次根式的二次根式不能合并，如，应为最终结果，而有的同学错误地合并为.（3）化简时，注意可能出现的错误，举例如下:， （4）化简结果必须最简，如结果中一个根式含有分母，则要继续化简. 【例5】（1）若最简二次根式与能合并成一项，则a＝_____． 【答案】－1 【解析】 解：， 由最简二次根式与能合并成一项，得 a+3＝2． 解得a＝-1． 故答案是：-1． （2）与最简二次根式2是同类二次根式，则a