4. 4 函数 y = Asin(ωx+φ)的图象及简单应用-2022高考理科数学【直击双1流】大一轮总复习

4. 4　 函数 y = Asin(ωx + φ) 的图象及简单应用 　 　 1. 函数 y = sin x的图象通过变换得到 y = Asin(ωx + φ)(A > 0,ω > 0) 的图象的步骤 　 　 　 　 　 　 法一 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 法二 　 　 　 画出 y = sin x 的图象 ← 步 骤 1 → 画出 y = sin x 的图象 ↓ ↓　 　 　 向左(右) 平移 | φ | 个单位长度 　 　 　 横坐标变为原来的 1 ω 得到 y = sin(x + φ) 　 　 　 的图象 ← 步 骤 2 → 得到 y = sin ωx 的图象 ↓ ↓　 　 　 　 横坐标变为原来的 1 ω 　 　 　 　 　 　 向左(右) 平移 | φ | ω 个单位长度 得到 y = sin(ωx + φ) 　 　 　 的图象 ← 步 骤 3 → 得到 y = sin(ωx + φ) 　 　 　 的图象 ↓ ↓　 　 　 　 纵坐标变为原来的 A 倍 　 　 　 　 　 纵坐标变为原来的 A 倍 得到 y = Asin(ωx + φ) 　 　 　 的图象 ← 步 骤 4 → 得到 y = Asin(ωx + φ) 　 　 　 的图象 2.图象的两种变换方法的区别与联系 区别 先平移变换(左右平移) 再周期变换(伸缩变换) 时,平移的 量是 | φ | 个单位长度,而先周期变换(伸缩变换) 再平移变 换(左右平移) 时,平移的量是 | φ | ω 个单位长度 联系 两种变换方法都是针对 x而言的,即 x本身加减多少,而不是 ωx 加减多少. 平移规律:左加右减,上加下减 3.函数 y = Asin(ωx + φ)(A > 0,ω > 0) 的物理意义 物理中,描述简谐运动的物理量都与 y = Asin(ωx + φ) (A > 0,ω > 0,x ≥ 0) 中的常数有关,A 为振幅,T = 2π ω 为周 期,f = 1 T = ω 2π 为频率,ωx + φ 为相位,φ 为初相. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　三角函数的图象及变换 1.三角函数图象变换的要点 (1) 常规方法 主要有两种:① 先平移后伸缩;② 先伸缩后平移. 三角函数 图象的平移变换规则是“左加、右减”,并且在变换过程中只变 换自变量 x,值得注意的是,如果 x 的系数不是 1,则需把 x 的系 数提取后再确定平移的单位长度和方向. (2) 方程思想 可以把两函数变为同名的函数,且 x的系数变为一致,通过 列方程求解,如 y = sin 2x 变为 y = sin 2x + π 3( ) ,可设平移 φ 个单位长度,即2(x + φ) = 2x + π 3 ⇒φ = π 6 ,即向左平移 π 6 个 单位长度. 若 φ < 0,说明向右平移 | φ | 个单位长度. 2.用“五点法” 作图的注意点 (1) 将原函数化为 y = Asin(ωx + φ)(A > 0,ω > 0) 或 y = Acos(ωx + φ)(A > 0,ω > 0) 的形式. (2) 求出周期 T = 2π ω . (3) 求出振幅 A. (4) 列出一个周期内的五个特殊点,当画出某指定区间上 的图象时,应列出该区间内的特殊点和区间端点. 例 1 (2020 届江西吉安联考) 函数 f(x) = Asin(ωx + φ) 其中 A > 0,ω > 0, | φ | < π 2( ) 的部分图象如图所示,为 了得到 g(x) = sin 2x 的图象,只需将 f(x) 的图象 (　 　 ) A. 向右平移 π 6 个单位长度 B. 向右平移 π 3 个单位长度 C. 向左平移 π 6 个单位长度 D. 向左平移 π 3 个单位长度 　 由函数 f(x) = Asin(ωx + φ)(其中 A > 0,ω > 0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 25　　　直击双 1流　高考数学 | φ | < π 2 ) 的部分图象可得 A = 1, T 4 = 1 4 ·2π ω = 7π 12 - π 3 , 得ω = 2. 由图象及五点作图法可得 2 × π 3 + φ = π,∴ φ = π 3 , f(x) = sin(2x + π 3 ) . 故 f(x) = sin(2x + π 3 ) 的图象向右平移 π 6