4. 3 三角函数的图象与性质-2022高考理科数学【直击双1流】大一轮总复习

4. 3　 三角函数的图象与性质 考点一　 用“五点法”画正弦函数和余弦函数 的简图 在正弦函数 y = sin x,x ∈ [0,2π] 的图象上,起关键作用 的五个点是(0,0), π 2 ,1( ) ,(π,0), 3π2 , - 1( ) ,(2π,0) . 在余弦函数 y = cos x,x ∈ [0,2π] 的图象上,起关键作用 的五个点是(0,1), π 2 ,0( ) ,(π, - 1), 3π2 ,0( ) ,(2π,1) . 五点法作图有三步:列表、描点、连线(注意光滑) . 考点二　正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y = sin x y = cos x y = tan x 图象 定义域 R R {x | x≠kπ + π 2 , k∈Z} 值域 [ - 1,1] [ - 1,1] R 单调性 递增区间: 2kπ - π 2 ,2kπ +[ π 2 ] (k ∈ Z); 递减区间: 2kπ + π 2 ,2kπ +[ 3π 2 ] (k ∈ Z) 递增区间: [2kπ - π,2kπ] (k ∈ Z); 递减区间: [2kπ,2kπ + π] (k ∈ Z) 递增区间: kπ - π 2 ,kπ +( π 2 ) (k ∈ Z) (续表) 函数 y = sin x y = cos x y = tan x 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心: (kπ,0) (k ∈ Z) 对称中心: (kπ + π 2 ,0) (k ∈ Z) 对称中心: kπ 2 ,0( ) (k ∈ Z) 对称轴方程: x = kπ + π 2 (k ∈ Z) 对称轴方程: x = kπ(k ∈ Z) 无对称轴 周期性 周期为 2kπ(k ∈ Z且 k≠0),最小 正周期为 2π 周期为 2kπ(k ∈ Z且 k≠ 0),最小 正周期为 2π 周期为 kπ(k ∈ Z且 k≠0),最小 正周期为 π 　 　 1. 正切函数的图象是由直线 x = kπ + π 2 (k ∈ Z) 隔开 的无穷多支曲线组成的,其单调递增区间是(kπ - π 2 ,kπ + π 2 ),k ∈ Z,但不能说它在整个定义域内是增函数,如 π 4 < 3π 4 ,但 tan π 4 > tan 3π 4 . 2. 三角函数存在多个单调区间时, 易错用“∪” 进行 联结. 3. 研究三角函数的单调性、奇偶性、对称中心及对称轴 时,易忽视“k ∈ Z” 这一条件. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　求三角函数的定义域和值域 1.三角函数定义域的求法 三角函数定义域常借助三角函数线或三角函数图象求解. 2.三角函数值域(最值) 的求法 (1) 利用 sin x 和 cos x 的值域求解. (2) 把所给三角函数化为 y = Asin(ωx + φ) + k的形式,由 正弦函数的性质求出函数的值域. (3) 把 sin x,cos x,sin xcos x或 sin x ± cos x换成 t,转化为 二次函数求值域. (4) 对于形如 y = asin x + c bcos x + d (或 y = acos x + c bsin x + d )(ab ≠ 0) 的三角函数, 一般先将其化为 y = a b × sin x + c a cos x + d b (或 y = a b × 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 94第四章　基本初等函数Ⅱ(三角函数) 　　　 cos x + c a sin x + d b ) 的形式,然后转化为求单位圆上的动点与定点连线 斜率的最值问题. 例 1 (2020届江苏课时练)已知函数f(x) = 2sin 2x + cos 4x - 1 2sin 2x . (1) 求函数 f(x) 的定义域; (2) 化简函数式,并求出函数 f(x) 的值域. 　 (1) 要使 f(x) = 2sin 2x + cos 4x - 1 2sin 2x 有意义,则 sin 2x ≠ 0,得 x ≠ kπ 2 ,k ∈ Z, 故函数的定义域为 x x ≠ kπ 2 ,k ∈ Z{ } . (2) f(x) = 2sin 2x + cos 4x - 1 2sin 2x = 1