4. 2 同角三角函数基本关系式、三角函数的诱导公式-2022高考理科数学【直击双1流】大一轮总复习

4. 2　 同角三角函数基本关系式、三角函数的诱导公式 考点一　同角三角函数的基本关系式 1. 平方关系:sin2α + cos2α = 1. 2. 商数关系:tan α = sin α cos α ,α ≠ π 2 + kπ,k ∈ Z. 3. 同角三角函数关系式的常见变形: (1)sin2α = 1 - cos2α; (2)cos2α = 1 - sin2α; (3)sin α = ± 1 - cos2α ; (4)cos α = ± 1 - sin2α ; (5)sin α = cos αtan α; (6)cos α = sin α tan α ; (7)sin2α = sin 2α sin2α + cos2α = tan 2α tan2α + 1 ; (8)(sin α ± cos α) 2 = 1 ± 2sin αcos α. 考点二　诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2kπ + α (k ∈Z) π + α - α π - α π 2 - α π 2 + α 正弦 sin α - sin α - sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α - cos α cos α - cos α sin α - sin α 正切 tan α tan α - tan α - tan α 口诀 函数名不变, 符号看象限 函数名改变, 符号看象限 记忆 规律 奇变偶不变,符号看象限 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　同角三角函数关系式的应用 1.化简三角函数的思路和要求 (1) 化简思路:先分析结构特点,选择恰当的公式,再利用 公式化成单角三角函数,最后整理得最简形式. (2) 化简要求:化简结果要求项数尽可能少,次数尽可能 低,结构尽可能简单,能求值的要求出值. 2.同角三角函数关系式的应用技巧 技巧 解读 适合题型 弦切 互化 利用公式 tan θ = sin θ cos θ 实现角的弦 切互化 表达 式 中 含 有 sin θ,cos θ 与 tan θ “1” 的 变换 1 = sin2θ + cos2θ = cos2θ(1 + tan2θ) = tan π 4 = (sin θ ∓ cos θ) 2 ± 2sin θcos θ 表达 式 中 需 要利用“1” 进 行转化 和积 转换 利用 (sin θ ± cos θ) 2 = 1 ± 2sin θcos θ 进行变形、转化 表达式中含有 sin θ ± cos θ 或sin θcos θ 　 　 例 1 (2020 届河南月考) 已知 sin αcos α = - 12 25 ,α ∈ - π 4 ,0( ) ,则 sin α + cos α = (　 　 ) A. - 1 5 B. 1 5 C. - 7 5 D. 7 5 　 由 α ∈ - π 4 ,0( ) 得 sin α > - 2 2 ,cos α > 2 2 , 则 sin α + cos α > 0. 又(sin α + cos α)2 = 1 + 2sin αcos α = 1 + 2 × - 12 25( ) = 1 25 , 所以 sin α + cos α = 1 5 . 　 B 例 2 已知0 < x < π 2 ,且 sin x -cos x = 1 5 ,则4sin xcos x - cos2x 的值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 74第四章　基本初等函数Ⅱ(三角函数) 　　　 　 ∵ sin x - cos x = 1 5 ,① ∴ 1 - 2sin xcos x = 1 25 ,得 2sin xcos x = 24 25 . 又 0 < x < π 2 , ∴ sin x + cos x = sin2x + cos2x + 2sin xcos x = 1 + 24 25 = 7 5 . ② 由 ①② 可得 sin x = 4 5 ,cos x = 3 5 , ∴ 4sin xcos x - cos2x = 4 ×