4. 1 任意角和弧度制、任意角的三角函数-2022高考理科数学【直击双1流】大一轮总复习

第四章 　 基本初等函数 Ⅱ(三角函数) 考点 真题 考查方向 核心素养 考点预测 任意角和弧度制、 任意角的三角函数 2018·浙江,18 由终边上点的坐标求三角函数值 数学运算 2017·北京,12 利用任意角的终边对称性及诱导公式求角 的余弦值 数学运算、 逻辑推理 2017·天津,4 象限角的三角函数值的充要条件 数学运算、 逻辑推理 同角三角函数的基本 关系及诱导公式 2020·北京,9 利用诱导公式判断两角正弦值相等的充要 条件 数学运算、 逻辑推理 2017·全国卷 Ⅱ,14 利用同角三角函数关系及一元二次函数的 性质求最值 数学运算 高考中,该知识点单独命题的概 率较低,常与三角恒等变换结合 考查三角函数的图象和性质 三角函数的 图象与性质 2020·全国卷 Ⅲ,16 正弦函数的奇偶性、对称性及最值的求解 数学运算、 逻辑推理 2020·浙江,4 利用三角函数奇偶性判断函数的图象 直观想象、 逻辑推理 2019·全国卷 Ⅱ,9 判断三角函数的最小正周期及某个区间的 单调性 数学运算、 逻辑推理 函数 y = Asin(x + φ) 的图象及应用 2020·全国卷 Ⅰ,7 由余弦型函数图象求最小正周期 数学运算、 逻辑推理 2020·山东,10 由正弦型函数的图象求函数的解析式 数学运算、 直观想象 本考点是高考考查的重点,主要 考查三角函数的图象变换、三角 函数的性质及应用、三角函数图 象与性质的综合应用,有时也与 三角恒等变换综合考查,多以选 择题和填空题的形式呈现 三角函数的恒等变换 2020·全国卷 Ⅰ,9 利用二倍角公式和同角三角函数关系求角 的正弦值 数学运算、 逻辑推理 2020·全国卷 Ⅱ,2 利用倍角公式判断三角函数的符号 数学运算、 逻辑推理 2020·全国卷 Ⅲ,9 利用两角和的正切公式化简求值 数学运算、 逻辑推理 本考点是高考考查的重点,重点 考查两角和与差的正弦、余弦、 正切公式及二倍角公式的综合 应用,多以选择题和填空题的形 式呈现,难度中等 解三角形 2020·全国卷 Ⅰ,16 2020·全国卷 Ⅲ,7 结合已知条件利用余弦定理求角的余弦值 数学运算、 逻辑推理 2020·全国卷 Ⅱ,17 利用正弦定理解三角形 数学运算、 逻辑推理 2020·天津,16 2020·山东,17 2020·江苏,16 利用正、余弦定理解三角形 数学运算、 逻辑推理 本考点是高考考查的重点,重点 考查正弦定理、余弦定理和三角 形面积公式的应用,有时也与三 角恒等变换等进行综合命题 4. 1　 任意角和弧度制、任意角的三角函数 1.任意角 (1) 角 的 分 类 按旋转方向 不同分类 正角:按逆时针方向旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:射线没有旋转 { 按终边位置 不同分类 象限角:角的终边在第几象限,这个角 就是第几象限角 轴线角:角的终边落在坐标轴上 { ì î í ïï ïï (2) 终边相同的角:所有与角 α终边相同的角,连同角 α在 内,可构成一个集合 S = {β | β = α + 2kπ,k ∈ Z} . (3) 象限角:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角 的始边与 x 轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,这 个角就是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上,就认为这个 角不属于任何一个象限. 第一象限角的集合 α | 2kπ < α < 2kπ + π 2 ,k ∈ Z{ } 第二象限角的集合 α | 2kπ + π 2 < α < 2kπ + π,k ∈ Z{ } 第三象限角的集合 α | 2kπ + π < α < 2kπ + 3 2 π,k ∈ Z{ } 第四象限角的集合 α | 2kπ + 3 2 π < α < 2kπ + 2π,k ∈ Z{ } 2.弧度制 定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角,用符号 rad 表示 角 α 的弧度数公式 | α | = l r ( l 是弧长,r 是半径) 角度与弧度的换算 ①1° = π 180 rad;②1 rad = 180 π( ) ° ≈ 57. 3° 弧长公式 弧长 l = | α | r 扇形面积公式 S = 1 2 l·r = 1 2 | α |·r2 3.任意角的三角函数 (1) 设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x, y),那么 y叫做 α 的正弦,记作 sin α,即 sin α = y;x叫做 α 的余 弦,记作 cos α,即 cos α = x; y x 叫做 α 的正切,记作 tan α,即 tan α = y x (x ≠ 0) . 正弦、余弦、正切统称为三角函数. (2) 设角 α 的终边与单位圆交于 P点,与过