3. 2 导数的应用 第 1 课时 导数与函数的单调性-2022高考理科数学【直击双1流】大一轮总复习

3. 2　 导数的应用 第 1 课时 　 导数与函数的单调性 1.函数的单调性与导数的关系 已知函数 f(x) 在区间(a,b) 内可导,f′(x) 是 f(x) 的导数,则: (1) 若 f′(x) > 0,则 f(x) 在这个区间内是单调递增函数. (2) 若 f′(x) < 0,则 f(x) 在这个区间内是单调递减函数. (3) 若恒有 f′(x) = 0,则 f(x) 在这个区间内是常数函数. 　 　 根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,可知 导函数的图象在 x轴上方的部分对应原函数的图象上升,导函 数的图象在 x 轴下方的部分对应原函数的图象下降. 2.用充要条件诠释导数与函数单调性的关系 (1) f′(x) > 0( < 0) 是 f(x) 在区间(a,b) 内单调递增 (减) 的充分不必要条件. (2) f′(x) ≥ 0( ≤ 0) 是 f(x) 在区间(a,b) 内单调递增 (减) 的必要不充分条件. (3) 若 f′(x) 在区间(a,b) 的任意子区间内都不恒等于零, 则 f′(x) ≥0(≤0) 是 f(x) 在区间(a,b) 内单调递增(减) 的充 要条件. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　利用导数确定函数的单调性(单调区间) 1.确定函数 f(x) 单调性的一般步骤 (1) 求函数 f(x) 的定义域; (2) 求 f′(x),并求方程 f′(x) = 0 的根; (3) 根据 f′(x) = 0 的根将函数 f(x) 的定义域分成若干个 子区间,确定 f′(x) 在各个子区间内的符号; (4) 由 f′( x) 的正负确定 f( x) 在各个子区间上的单 调性 . 例 1 函数 f(x) = cos x - x 在(0,π) 上 (　 　 ) A. 先增后减 B. 先减后增 C. 单调递增 D. 单调递减 　 由 f(x) = cos x - x,得 f′(x) = - sin x - 1. 当 x ∈ (0,π) 时, - sin x - 1 ∈ [ - 2, - 1),即 f′(x) < 0, 则函数 f(x) 在(0,π) 上单调递减. 　 D 2.求函数 f(x) 单调区间的基本步骤 (1) 确定函数 f(x) 的定义域. (2) 求导函数 f′(x) . (3) 当 f′(x) > 0(或 f′(x) < 0) 可解时,解不等式求出函数 f(x) 在其定义域内的单调递增区间(单调递减区间);当 f′(x) = 0 可解时,解出方程的一切实根,利用实根和函数 f(x) 的间断点 对函数 f(x) 的定义域进行划分,确定 f′(x) 在各个子区间内的符 号即可得单调区间;当上述不等式、方程都不可解时,依据 f′(x) 的图象与性质确定 f′(x) 的符号,从而确定单调区间. 　 　 确定含参数的函数的单调性或单调区间时,注意依据参 数取值对导函数符号的影响进行分类讨论. 例 2 (2020 届黄冈检测) 已知函数 f(x) = 1 2 x2 - 2x + aln(x + 2)(a ∈ R). (1) 求函数 f(x) 的单调区间; (2) 若 y = f(x) 有两个极值点 x1 ,x2 ,且 x1 < x2 ,求证: f(x2 ) > x1 . 　 (1)∵ f(x) = 1 2 x2 - 2x + aln(x + 2), ∴ f(x) 的定义域为( - 2, + ∞ ),f′(x) = x - 2 + a x + 2 = x 2 - 4 + a x + 2 . 当 a ≥ 4 时,f′(x) ≥ 0. 当 0 < a < 4 时,令 f′(x) > 0,得 - 2 < x < - 4 - a 或 x > 4 - a;令 f′(x) < 0,得 - 4 - a < x < 4 - a . 当 a ≤ 0 时,令 f′(x) > 0,得 x > 4 - a;令 f′(x) < 0,得 - 2 < x < 4 - a . 综上,当 a ≥ 4 时,f(x) 的单调递增区间为( - 2, + ∞ ),无 单调递减区间; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 53第三章　导数及其应用 　　　 当 0 < a < 4 时,f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 ( - 2, - 4 - a), ( 4 - a, + ∞ ), 单 调 递 减 区 间 为 ( - 4 - a, 4 - a); 当