3. 1 导数的概念及其运算-2022高考理科数学【直击双1流】大一轮总复习

第三章 　 导数及其应用 考点 真题 考查方向 核心素养 考点预测 导数的概念 及其几何意义 2020·全国卷 Ⅰ,6 求曲线在某点处的切线方程 数学运算 2020·全国卷 Ⅰ,文 15 已知切线斜率求切线方程 数学运算 2020·全国卷 Ⅲ,10 求两条曲线的公切线方程 逻辑推理、 数学运算 2019·全国卷 Ⅲ,6 求切点、切线方程中的参数值 数学运算 2019·江苏,11 求切点坐标 逻辑推理、 数学运算 导数的运算 2020·全国卷 Ⅲ,文 15 已知某点的导数值求参数值 数学运算 导数的几何意义是考查的热点,主 要考查求切线方程及参数值,难度 较小;导数的运算不会单独考查, 但涉及导数的都离不开计算 导数与函数的单调性 2020·全国卷Ⅰ,21(1) 讨论函数的单调性 数学运算、 逻辑推理 2019·天津,20(1) 求函数的单调区间 数学运算、 逻辑推理 导数与函数的极值、 最值 2020·全国卷Ⅱ,文21(1) 利用函数最值求参数范围 逻辑推理、 数学运算 2020·北京,19(2) 求函数的最值 数学运算、 逻辑推理 2018·全国卷Ⅰ,21(2) 利用极值点证明不等式 逻辑推理、 数学运算 2017·全国卷 Ⅱ,11 求函数的极值 数学运算、 逻辑推理 导数的综合应用 2020·全国卷Ⅰ,21(2) 根据有限制的不等式求参数范围 逻辑推理、 数学运算 2020·江苏,17 生活中的优化问题 数学运算、 数学建模 2019·全国卷 Ⅰ,20 证明函数极值点及零点个数 逻辑推理、 数学运算 2017·全国卷Ⅰ,21(2) 已知零点情况求参数范围 逻辑推理、 数学运算 2016·全国卷 Ⅱ,21 讨论单调性(单调区间)、 证明不 等式、求最值(值域) 逻辑推理、 数学运算 导数的应用是每年高考必考内容, 主要考查利用导数研究函数的单 调性、极值、最值、零点和不等式问 题(不等式证明、不等式恒成立或 成立时参数范围求解),还可能与 三角函数、数列等综合考查,小题 较基础, 大题常为压轴题, 难度 较大 定积分与微积分 基本定理 2014·江西,8 定积分的计算 数学运算 定积分的简单应用 2015·天津,11 求平面图形的面积 数学运算、 直观想象 定积分与微积分基本定理主要考 查定积分的计算与简单应用,难度 较小 3. 1　 导数的概念及其运算 1.导数的概念 一般地,函数 y = f(x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是 lim Δx→0 Δy Δx = lim Δx→0 f(x0 + Δx) - f(x0 ) Δx , 我们称它为函数 y = f(x) 在 x = x0 处的导数,记作 f′(x0 ) 或 y′ x = x0 ,即 f′(x0 ) = limΔx→0 Δy Δx = lim Δx→0 f(x0 + Δx) - f(x0 ) Δx . 当 x 变化时,f′(x) 是 x 的一个函数,我们称它为 f(x) 的导 函数(简称导数),即 f′(x) = lim Δx→0 f(x + Δx) - f(x) Δx . 2.导数的几何意义 函数 f( x) 在 x = x0 处的导数 f′( x0 ) 表示曲线 y = f( x) 在点 P( x0 ,f( x0 ) ) 处的切线的斜率 . 相应地,切线方程为 y - f( x0 ) = f′( x0 ) ( x - x0 ) . 　 　 1. 求曲线的切线方程时,要注意“在点 P 处的切线” 与 “过点 P 的切线” 的区别,前者点 P 必为切点,而后者点 P 不 一定是切点,也不一定在已知曲线上. 2. 曲线在某点处的切线若有则只有一条,曲线过某点的 切线可能不止一条. 3. 曲线的切线与曲线的交点不一定只有一个. 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x) = C(C 为常数) f′(x) = 0 f(x) = xn(n ∈ Q∗ ) f′(x) = nxn-1 f(x) = sin x f′(x) = cos x f(x) = cos x f′(x) = - sin x f(x) = ax(a > 0,且 a ≠ 1) f′(x) = ax ln a f(x) = ex f′(x) = ex f(x) = logax(a > 0,且 a ≠ 1) f′(x) = 1 xln a f(x) = ln x f′(x) = 1 x 4.导数运算法则 (1)[ f(x) ± g(x)] ′ = f′(x) ± g′(x) . (2)[ f(x)·g(x)] ′ = f′(x)g(x) + f(x)g′(x) . (3) f(x) g(x)[ ] ′ = f′(x)g(x) - f(x)g′(x) [g(x)]