3. 3 定积分与微积分基本定理-2022高考理科数学【直击双1流】大一轮总复习

3. 3　 定积分与微积分基本定理 1.定积分的概念 如果函数 f(x) 在区间[a,b] 上连续, 用分点 a = x0 < x1 < … < xi-1 < xi < … < xn = b 将区间[a,b] 等分成 n 个小 区间,在每个小区间[xi-1,xi] 上任取一点 ξ i(i = 1,2,3,…,n), 作和式∑ n i = 1 f(ξ i)Δx = ∑ n i = 1 b - a n f(ξ i),当n→ ∞ 时,上述和式无限 接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x) 在区间[a,b] 上的定积 分,记作∫ba f(x)dx,即∫ b a f(x)dx = lim n→∞ ∑ n i = 1 b - a n f(ξ i) . 在∫ba f(x)dx 中,a,b分别叫做积分下限、积分上限,区间[a,b] 叫做积分区间, 函数 f(x) 叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式. 2.定积分的几何意义 (1) 若 f(x) ≥ 0,x ∈ [a,b],则∫ba f(x)dx表示曲线y = f(x) 和直线 x = a,x = b,y = 0 围成的曲边梯形的面积. (2) 若 f(x) ≤ 0,x ∈ [a,b],则∫ba f(x)dx表示曲线y = f(x) 和直线 x = a,x = b,y = 0 围成的曲边梯形的面积的相反数. (3) 若 f(x) 在区间[a,b] 上有正有负,则∫ba f(x)dx表示位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积. 　 　 定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是零,而 平面图形的面积是非负的. 3.定积分的性质 (1)∫bakf(x)dx = k∫ b a f(x)dx(k 为常数) . (2)∫ba[ f1(x) ± f2(x)]dx = ∫ b a f1(x)dx ± ∫ b a f2(x)dx. (3)∫ba f(x)dx = ∫ c a f(x)dx + ∫ b c f(x)dx(其中 a < c < b) . 4.微积分基本定理 一般地,如果 f(x) 是区间[a,b] 上的连续函数,并且 F′(x) = f(x),那么∫ba f(x)dx = F(b) - F(a),这个结论叫做微积分基本定 理,又叫做牛顿 - 莱布尼茨公式,其中 F(x) 叫做 f(x) 的一个原 函数. 为了方便,常把 F(b) - F(a) 记成 F(x) b a ,即∫ba f(x)dx = F(x) b a = F(b) - F(a) . 　 　 常见的定积分公式: (1)∫baxndx = x n+1 n + 1 b a (n ≠- 1); (2)∫baCdx = Cx ba(C 为常数); (3)∫ b asin xdx = - cos x b a ; (4)∫bacos xdx = sin x ba;(5)∫ b a 1 x dx = ln | x | b a ;(6)∫baexdx = ex b a . 5.定积分的简单应用 定积分的简单应用主要涉及求平面图形的面积、求变速直 线运动的路程、求变力做功等,解决这类问题的关键是理解定 积分的概念、性质及其几何意义,选用合适的被积函数、积分区 间进行求解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 方法一　定积分的求解 1. 直接积分法:当被积函数比较简单时,可用求导公式求 出其原函数,利用微积分基本定理求定积分. 2. 几何意义法:当被积函数的图象易画时,可通过求曲边 梯形的面积求定积分. 3. 性质法:当被积函数为(或可化为) 分段函数时,可利用 定积分的性质分区间求定积分. 4. 奇偶性法:奇函数在对称区间上的定积分为零,偶函数 在对称区间上的定积分为其一半区间上定积分的 2 倍,简称为 “偶倍奇零” . 例 1 (2018届醴陵一中测试) 设 f(x) = x2,x ∈ [0,1], 2 - x,x ∈ (1,2],{ 则∫20 f(x)dx = (　 　 ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24　　　直击双 1流　高考数学 A. 3 4 B. 4 5 C. 1 D. 5 6 　 由题意得∫20f(x)dx = ∫ 1 0x 2dx + ∫21(2 - x)dx = 13 x3 1 0 + (2x - 1 2 x2) 2 1 = 1 3 + (2 × 2 - 1 2 × 2