3. 2 导数的应用 第 3 课时 导数的综合应用-2022高考理科数学【直击双1流】大一轮总复习

第 3 课时 　 导数的综合应用 1.导数与方程、不等式的综合 导数与方程的综合主要涉及研究方程的根(或函数的零 点) 的情况,导数与不等式的综合主要涉及不等式证明及恒成 立(或成立) 问题. 利用导数研究方程和不等式问题的基本思路 是构造函数,求导之后结合函数性质求解. 2.生活中的优化问题 (1) 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等 问题,这些问题称为优化问题. (2) 用导数解决优化问题的基本思路: 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 方法一　利用导数研究函数零点问题 利用导数研究函数零点问题最核心的思路是利用导数研 究函数的图象,由函数的单调性、极值、区间端点的取值情况得 到函数零点的情况,主要涉及三种题型: (1) 利用导数讨论零点的个数; (2) 利用导数证明零点的唯一性; (3) 根据零点情况,借助导数求参数取值范围. 解决此类问题的常用方法如下: (1) 先求导,然后结合导数分析函数的单调性和极值,从而 画出函数的大致图象,再利用数形结合,挖掘隐含条件,确定函 数图象与 x 轴的交点情况,进而求解. (2) 涉及含参数的零点问题,可以通过参变分离,将问题转 化为不含参数的函数与常函数图象的交点问题进行求解. (3) 当直接研究函数零点较困难时,可以对函数进行适 当变形,将问题转化为其他相对简单的函数零点问题进行 求解 . 函数的零点、方程的根、函数图象与 x 轴交点的横坐标实质 上是同一问题的三种不同表现形式,注意它们之间的相互转化. 例 1 (2019 届甘肃甘谷县一中检测) 已知函数 f(x) = 1 3 x3 - m + 1 2 x2 ,g(x) = 1 3 - mx,m 是实数. (1) 若 f(x) 在区间(2, + ∞ ) 上为增函数,求 m 的取值 范围; (2) 在(1) 的条件下,若函数 h(x) = f(x) - g(x) 有 3个零 点,求 m 的取值范围. 　 (1) 由 f( x) = 1 3 x3 - m + 1 2 x2 得 f′( x) = x2 - (m + 1) x. 因为 f(x) 在(2, + ∞ ) 上为增函数, 所以 f′(x) = x(x - m - 1) ≥ 0 在(2, + ∞ ) 上恒成立, 所以 x - m - 1 ≥ 0,即 m ≤ x - 1 在(2, + ∞ ) 上恒成立, 所以 m ≤ 1,即 m 的取值范围是( - ∞ ,1] . (2) 因为 h(x) = f(x) - g(x) = 1 3 x3 - m + 1 2 x2 + mx - 1 3 , 所以 h′(x) = (x - 1)(x - m) . 令 h′(x) = 0,解得 x = m 或 x = 1. 当m = 1时,h′(x) = (x - 1) 2 ≥ 0,h(x) 在R上是增函数, 不合题意. 当 m < 1 时,令 h′(x) > 0,解得 x < m或 x > 1,令 h′(x) < 0,解得 m < x < 1, 所以 h(x) 在( - ∞ ,m),(1, + ∞ ) 上单调递增,在(m,1) 上单调递减, 所以 h(x) 的极大值为 h(m) = - 1 6 m3 + 1 2 m2 - 1 3 ,h(x) 的极小值为 h(1) = m - 1 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 93第三章　导数及其应用 　　　 要 使 h(x) = f(x) - g(x) 有 3 个 零 点, 则 - 1 6 m3 + 1 2 m2 - 1 3 > 0, m - 1 2 < 0, ì î í ï ï ï ï 解得 m < 1 - 3 , 所以 m 的取值范围是( - ∞ ,1 - 3 ) . 例 2 (2018 届湖南 G10联考) 已知函数 f(x) = (x2 - x - 1)ex,设关于 x的方程 f2(x) - mf(x) = 5 e (m∈R) 有 n个不同 的实数根,则 n 的所有可能取值为 (　 　 ) A. 3 B. 1 或 3 C. 4 或 6 D. 3 或 4 或 6 　 由 f(x) = (x2 - x - 1)ex 可得 f′(x) = (x - 1)(x + 2)ex, 则 f(x) 在( - ∞ , - 2) 和(1, + ∞ ) 上单调递增,在( - 2,1) 上 单调递减. 又当 x →- ∞ 时,f(x