3. 2 导数的应用 第 2 课时 导数与函数的极值、最值-2022高考理科数学【直击双1流】大一轮总复习

第 2 课时 　 导数与函数的极值、最值 1.函数的极值与导数 (1) 设函数 y = f(x) 在点 x0 及其附近有定义,如果对 x0 附 近的所有点都有 f(x) < f(x0)( f(x) > f(x0)),则称点 x0 是函 数 y = f(x) 的极大值点(极小值点),f(x0) 是函数 y = f(x) 的 极大值(极小值) . 极大值点、极小值点统称为极值点,极大值和 极小值统称为极值. (2) 判别 f(x0) 是否为极值的方法如下: 解方程 f′( x) = 0,当 f′( x0) = 0 时,① 如果在 x0 附近 的左侧 f′( x) > 0,右侧 f′( x) < 0,那么 f( x0) 是极大值;② 如果在 x0 附近的左侧 f′( x) < 0,右侧 f′( x) > 0,那么 f( x0) 是极小值 . 　 　 1. 导数值为 0 的点不一定是函数的极值点. 例如,对于 函数 f(x) = x3,f′(x) = 3x2,虽然 f′(0) = 0,但 x = 0 不是 极值点. 一般地,函数 y = f(x) 在一点的导数值为 0是函数 y = f(x) 在这点取极值的必要条件,而非充分条件. 　 　 2. 极值点不是点,而是函数图象的某段上取得极值处点 的横坐标. 3. 极大值与极小值之间无确定的大小关系. 2.函数的最值与导数 (1) 一般地,如果在区间[a,b] 上函数 y = f(x) 的图象是 一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值. (2) 判别连续函数在闭区间上的最值,需将函数在该区间 上的极值和区间端点处的函数值进行比较,其中最大的为最大 值,最小的为最小值. 3.极值与最值的联系与区别 联系:极值可能是最值,最值也可能是极值,不在区间端点 处取到的最值一定是极值. 有极值未必有最值,有最值也未必 有极值. 区别:极值只能在定义域内部取得,而最值可以在定义域 内部取得,也可以在区间端点处取得. 在指定区间上极值可能 不止一个,也可能一个都没有,而最值最多有一个. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　利用导数求函数的极值、最值 1.利用导数求函数 f(x) 极值的步骤 (1) 确定函数 f(x) 的定义域,求导数 f′(x); (2) 求方程 f′(x) = 0 的根; (3) 检验 f′(x) 在方程 f′(x) = 0 的根的左右两侧的符号, 得函数 f(x) 的极值. 例 1 (2018届安庆一中测试)已知函数 f(x) = ae x x + ln x - x. (1) 当 a = 1 e 时,讨论函数 f(x) 的单调性; (2) 求函数 f(x) 的极值. 　 (1) 函数 f(x) 的定义域为(0, + ∞ ),其导数 f′(x) = ae x(x - 1) x2 - x - 1 x = (x - 1)(ae x - x) x2 . 当 a = 1 e 时,f′(x) =(x - 1)(ex-1 - x) x2 = ex(x - 1)( 1 e - x ex ) x2 . 设 u(x) = x ex ,则 u′(x) = 1 - x ex . 显然 x ∈ (0,1) 时,u′(x) > 0,u(x) 单调递增;x ∈ (1, + ∞ ) 时,u′(x) < 0,u(x) 单调递减. 故 u(x) ≤ u(1) = 1 e ,于是 1 e - x ex ≥ 0, 则 x ∈ (0,1) 时,f′(x) < 0,f(x) 单调递减;x ∈ (1, + ∞ ) 时,f′(x) > 0,f(x) 单调递增. 故 f(x) 在(0,1) 上单调递减,在(1, + ∞ ) 上单调递增. (2) 由(1) 知,f′(x) = ex(x - 1)(a - x ex ) x2 (x > 0), u(x) = x ex ≤ u(1) = 1 e . 当 x > 0 时,ex > 1. ① 当 a ≤ 0 时,a - x ex < 0,则当 x ∈ (0,1) 时,f′(x) > 0, f(x) 单调递增;当 x ∈ (1, + ∞ ) 时,f′(x) < 0,f(x) 单调递减. 所以 f(x)极大值 = f(1) = ae - 1,无极小值. ② 当 a ≥ 1 e 时,a - x ex ≥ 0,则当 x ∈ (0,1) 时,f′(x) < 0, f(x) 单调递减;当 x ∈ (1, + ∞ ) 时,f′(x) > 0,f(x) 单调递增. 所以 f(x)极小值 = f(1) = ae - 1,无极大值. ③ 当 0 < a < 1