2. 4 指数与指数函数-2022高考理科数学【直击双1流】大一轮总复习

2. 4　 指数与指数函数 考点一　指数与指数幂的运算 1. n 次方根(n > 1,且 n ∈ N∗) 的性质 (1)( n a) n = a. (2) 当 n 为奇数时, n an = a; 当 n 为偶数时, n an = | a | = a,a ≥ 0, - a,a < 0.{ (3) 负数没有偶次方根. (4)0 的任何次方根都是 0. 2.有理数指数幂 (1) 分数指数幂 ① 正分数指数幂:a m n = n am (a > 0,m,n ∈ N∗,且n > 1). ② 负分数指数幂:a - m n = 1 a m n = 1n am (a > 0,m,n∈N∗,且n > 1). ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. (2) 有理数指数幂的运算性质 ①ar·as = ar+s(a > 0,r,s ∈ Q) . ②(ar) s = ars(a > 0,r,s ∈ Q) . ③(ab) r = arbr(a > 0,b > 0,r ∈ Q) . 3.无理数指数幂和实数指数幂 一般地,无理数指数幂 aα(a > 0,α 是无理数) 是一个确定 的实数,因此,指数幂 aα(a > 0) 中指数 α 可取任意实数且有理 数指数幂的运算性质同样适用于实数指数幂. 考点二　指数函数的图象与性质 1.指数函数的定义 一般地,函数 y = ax(a > 0,且 a ≠ 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,定义域是 R. 2.指数函数的图象与性质 解析式 y = ax(0 < a < 1) y = ax(a > 1) 图象 定义域 R 值域 (0, + ∞ ) 性质 当 x = 0 时,y = 1,即图象过定点(0,1) 当 x > 0 时,0 < y < 1; 当 x < 0 时,y > 1 当 x > 0 时,y > 1; 当 x < 0 时,0 < y < 1 在 R 上是减函数 在 R 上是增函数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　指数幂的运算 1. 指数幂的运算一般先将根式化为分数指数幂,以便利用 法则计算. 2. 当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. 3. 运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能同时含 有分母和负指数. 例 1 (2020届济宁期中) 已知 a 1 2 + a - 1 2 = 3,求a 2 + a-2 + 1 a + a-1 + 2 的值. 　 ∵ a 1 2 + a - 12 = 3, ∴ a + a -1 = (a 1 2 + a - 12 ) 2 - 2 = 7, ∴ a2 + a -2 = (a + a -1 ) 2 - 2 = 47, ∴ a 2 + a -2 + 1 a + a -1 + 2 = 47 + 1 7 + 2 = 16 3 . 1. (2020 届沧州七校联考) 1 4( ) - 12 · ( 4ab -1 ) 3 (0. 1) -1 ·(a3b -3 ) 1 2 = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91第二章　函数的概念与基本初等函数Ⅰ　　　 题型二　指数函数的图象及其应用 1. 画指数函数 y = ax(a > 0,a ≠ 1) 的图象,应抓住三个关 键点:(1,a),(0,1), - 1, 1 a( ) . 2. 与指数函数有关的函数的图象,往往利用相应指数函数 的图象,通过平移、对称变换得到. 3. 一些指数型方程、不等式问题,往往利用相应指数型函 数的图象,通过数形结合求解. 例 2 (2020 届上饶模拟) 已知函数 f(x) = x - 4 + 9 x + 1 , x ∈ (0,4),当 x = a 时,f(x) 取得最小值 b, 则函数 g(x) = a| x+b| 的图象为 (　 　 ) A. B. C. D. 　 由 x ∈ (0,4),得 1 < x + 1 < 5, ∴ f(x) = x - 4 + 9 x + 1 = x + 1 + 9 x + 1 - 5 ≥ 2 (x + 1)· 9 x + 1 - 5 = 1,当且仅当 x + 1 = 9 x + 1 ,即 x = 2 时等号成立, ∴ a = 2,b = 1, ∴ g(x) = 2| x+1| = 2x+1 ,x ≥- 1, 1 2( ) x+1 ,x < - 1.{ 函数 g(x) 的图象可以看成由函数 y = 2x,x ≥ 0, 1 2( )