2. 3 二次函数与幂函数-2022高考理科数学【直击双1流】大一轮总复习

2. 3　 二次函数与幂函数 考点一　二次函数的图象与性质 1.二次函数解析式的三种形式 (1) 一般式:f(x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) . (2) 顶点式:f(x) = a(x - m) 2 + n(a ≠ 0),其中(m,n) 为 抛物线的顶点坐标. (3) 交点式:f(x) = a(x - x1 )(x - x2 )(a ≠ 0),其中 x1 ,x2 为抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标. 2.二次函数的图象与性质 解析式 f(x) = ax2 +bx +c(a > 0) f(x) = ax2 +bx +c(a < 0) 图象 定义域 R R 值域 4ac - b2 4a , + ∞[ ) - ∞ ,4ac - b 2 4a( ] 单调性 在 - ∞ , - b 2a( ) 上单调 递减;在 - b 2a , + ∞( ) 上 单调递增 在 - ∞ , - b 2a( ) 上单调 递增;在 - b 2a , + ∞( ) 上 单调递减 对称性 函数的图象关于直线 x = - b 2a 对称 考点二　幂函数 1.幂函数的定义 一般地,函数 y = xα 叫做幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数. 2.常见的 5 种幂函数的图象 3.常见的 5 种幂函数的性质 函数 y = x y = x2 y = x3 y = x 1 2 y = x -1 定义域 R R R [0, + ∞ ) {x | x ≠ 0} 值域 R [0, + ∞) R [0, + ∞) {y | y ≠ 0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在(- ∞,0) 上减, 在(0, + ∞) 上增 增 增 在(- ∞,0) 和 (0, + ∞) 上减 过定点 (0,0),(1,1) (1,1) 　 　 1. 幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出 现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的 奇偶性. 2. 若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. 3. 对于幂函数 y = xα,当 α < 0 时,在(0,1) 上,α 越大, 函数图象越靠近 y 轴,在(1, + ∞ ) 上,α 越小,函数图象越靠 近 x 轴;当 α > 0 时,在(0,1) 上,α 越大,函数图象越靠近 x 轴,在(1, + ∞ ) 上,α 越小,函数图象越靠近 x 轴. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 61　　　直击双 1流　高考数学 题型一　二次函数在闭区间上的最值(值域) 二次函数在闭区间上的最值主要有三个影响因素:抛物线 的开口方向、对称轴和所给区间. 常见的题型有三种:轴定区间 定、轴动区间定、轴定区间动. 无论哪种类型,解决问题的关键都 是确定对称轴与所给区间的相对位置关系,一般分三种情况讨 论:(1) 对称轴在区间右边;(2) 对称轴在区间内;(3) 对称轴在 区间左边.求解过程中要注意结合二次函数的图象与性质. 例 1 已知函数 y = 4x - ( 1 2 ) -x + 1,x ∈ [ - 3,2],则该函 数的值域为 . 　 y = 4x - ( 1 2 ) -x + 1 = (2x) 2 - 2x + 1. 设 t = 2x,则 y = t2 - t + 1 = ( t - 1 2 ) 2 + 3 4 ,其图象开口 向上,对称轴方程为 t = 1 2 . ∵ x ∈ [ - 3,2], ∴ 1 8 ≤ t ≤ 4, ∴ ymin = 3 4 ,ymax = 4 - 1 2( ) 2 + 3 4 = 13, ∴ 该函数的值域为[ 3 4 ,13] . 　 [ 3 4 ,13] 1. (2020届北京师范大学附中月考) 已知函数 f(x) = x2 - 4x + 5 在区间[0,m] 上的最大值为 5,最小值为 1,则 m 的取值范 围是 (　 　 ) A. [0,1] B. [1,2] C. [0,2] D. [2,4] 题型二　二次函数中的恒成立问题 二次函数中的恒成立问题主要是含参数的一元二次不等 式的恒成立问题,可从区间端点、二次函数图象的开口方向、对 称轴、二次函数对应一元二次方程根的判别式等方面考虑,建 立方程(组) 或不等式(组) 求解. 例 2 (2020届沧州七校联考)已知函数 f(x) = 8x2 + 16x - k,g(x) = 2x2