2. 2 函数的基本性质-2022高考理科数学【直击双1流】大一轮总复习

2. 2　 函数的基本性质 考点一　函数的单调性与最值 1.函数的单调性 (1) 单调函数 增函数 减函数 定义 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 ,x2 当 x1 < x2 时,都有 f(x1 ) < f(x2 ), 那么就说函数 f(x) 在区间D上是增函数 当 x1 < x2 时,都有 f(x1 ) > f(x2 ), 那么就说函数 f(x) 在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 　 　 (2) 单调区间 如果函数 y = f(x) 在区间 D上是增函数或减函数,那么就 说函数 y = f(x) 在这一区间具有(严格的) 单调性,区间D叫做 函数 y = f(x) 的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数 y = f(x) 的定义域为 I 条件 存在实数 M 满足: (1) 对于任意的 x ∈ I,都 有 f(x) ≤ M; (2) 存在 x0 ∈ I, 使得 f(x0 ) = M 存在实数 M 满足: (1) 对于任意的 x ∈ I,都 有 f(x) ≥ M; (2) 存在 x0 ∈ I, 使得 f(x0 ) = M 结论 M为函数y = f(x)的最大值 M为函数y = f(x)的最小值 　 　 1. “函数 f(x) 的单调区间是 A” 和“函数 f(x) 在区间 B 上单调” 不同,显然 B ⊆ A. 2. 一个函数有多个递增区间或递减区间时,各个区间不 能用“∪” 联结,而要用“和” 或“,” 联结. 考点二　函数的奇偶性 1.函数奇偶性的定义及图象特征 定义 图象特征 偶函数 如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x,都有 f( - x) = f(x),那么函数 f(x) 就 叫做偶函数 关于 y 轴 对称 奇函数 如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x,都有 f( - x) = - f(x),那么函数 f(x) 就 叫做奇函数 关于原点 对称 2.有关函数奇偶性的重要结论 (1) 如果奇函数 f(x) 在原点处有定义,即 f(0) 有意义,那 么一定有 f(0) = 0. (2) 如果函数 f(x) 是偶函数,那么 f(x) = f( | x | ) . (3) 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即 f(x) = 0,x ∈ D,其中定义域 D 是关于原点对称的非空数集. (4) 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性, 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 考点三　函数的周期性 1.周期函数 对于函数 y = f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取 定义域内的任何值时,都有 f(x + T) = f(x),那么就称函数 y = f(x) 为周期函数,称 T 为这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期. 3.重要结论 (1) 若 f(x + a) = f(x + b)(a ≠ b),则函数 f(x) 为周期函 数,且它的一个周期为 | a - b | . (2) 若函数 f(x) 在其定义域内满足 f(x + a) = - f(x) 或 f(x + a) = 1 f(x) 或 f(x + a) = - 1 f(x) ,其中 a > 0,则函数 f(x) 为周期函数,且 2a 为它的一个周期. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21　　　直击双 1流　高考数学 (3) 若函数 f(x) 的图象既关于直线 x = a 对称,又关于直 线 x = b 对称,则函数 f(x) 必为周期函数,且 2 | a - b | 是它的 一个周期. (4) 若函数 f(x) 的图象既关于点(a,0) 对称,又关于点(b, 0) 对称,则函数 f(x) 必为周期函数,且 2 | a - b | 是它的一 个周期. (5) 若函数 f(x) 的图象既关于点(a,0) 对称,又关于直线 x = b对称,则函数 f(x) 必为周期函数,且 4 | a - b | 是它的一个 周期. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　函数单调性的判断及单调区间的求法 1.定义法