2. 8 函数模型及其应用-2022高考理科数学【直击双1流】大一轮总复习

2. 8　 函数模型及其应用 1.常见的几种函数模型 (1) 一次函数模型:y = kx + b(k,b 为常数,k ≠ 0) . (2) 反比例函数模型:y = k x + b(k,b 为常数,k ≠ 0) . (3) 二次函数模型:y = ax2 + bx + c(a,b,c为常数,a≠ 0) . (4) 指数函数模型:y = abx + c(a,b,c为常数,a≠ 0,b > 0, b ≠ 1) . (5) 对数函数模型:y = mlogax + n(m,n,a 为常数,a > 0, a ≠ 1,m ≠ 0) . (6) 幂函数模型:y = axn + b(a,b,n为常数,a≠0,n≠ ±1,2). 2.指数函数、对数函数、幂函数模型的比较 函数模型 y = ax (a > 1) y = logax (a > 1) y = xn (n > 0) 在(0, + ∞ ) 上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x的增大逐 渐表现为与 y 轴平行 随 x的增大逐 渐表现为与 x 轴平行 随 n值变化而 各有不同 值的比较 存在一个 x0 ,当 x > x0 时,有 logax < x n < ax 3.建立函数模型解应用题的步骤 (1) 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步 选择数学模型; (2) 建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识建立 相应的数学模型; (3) 求解:求解数学模型,得出数学结论; (4) 还原:将用数学方法得到的结论还原到实际问题中. 以上过程用图形表示如下: 　 　 形如 y = ax + b x (a > 0,b > 0) 的函数称为 “对 勾”函数. 1. 函数 y = ax + b x (a > 0,b > 0) 在( - ∞ , - b a ) 和( b a , + ∞ ) 上单调递增,在( - b a ,0) 和(0, b a ) 上单调递减; 2. 当 x < 0 时,函数 y = ax + b x (a > 0,b > 0) 在 x = - b a 处取得最大值 - 2 ab ,当 x > 0 时,函数 y = ax + b x (a > 0,b > 0) 在 x = b a 处取得最小值 2 ab . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　已知函数模型的实际问题 例 1 (2019 届贵州遵义南白中学、遵义一中联考) 某校学 生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查 研究中发现:在 40 分钟的一节课中,注意力指数 p 与听课时间 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 92第二章　函数的概念与基本初等函数Ⅰ　　　 t(单位:分钟) 之间的关系满足如图所示的曲线. 当 t ∈ [0,14] 时,曲线是二次函数图象的一部分,当 t ∈ [14,40] 时,曲线是 函数 y = loga( t - 5) + 83(a > 0,a ≠ 1) 图象的一部分. 根据专 家研究,当注意力指数 p 大于 80 时学习效果最佳. (1) 试求 p = f( t) 的函数关系式. (2) 教师在什么时段内安排核心内容,能使得学生学习效 果最佳? 请说明理由. 　 (1) 当 t ∈ [ 0,14] 时,由题意可设 p = f( t) = c( t - 12) 2 + 82( c < 0) . 由点(14,81) 在函数图象上得 c(14 - 12) 2 + 82 = 81,解得 c = - 1 4 , 所以当 t ∈ [0,14] 时,p = f( t) = - 1 4 ( t - 12) 2 + 82. 当 t ∈ [14,40] 时,将点(14,81) 代入 y = loga( t - 5) + 83, 得loga9 + 83 = 81,解得 a = 1 3 . 综上,p = f( t) = - 1 4 ( t - 12) 2 + 82,0 ≤ t < 14, log 1 3 ( t - 5) + 83,14 ≤ t ≤ 40. { (2) 解不等式组 0 ≤ t < 14, - 1 4 ( t - 12) 2 + 82 > 80,{ 得12 - 2 2 < t < 14. 解不等式组 14 ≤ t ≤ 40, log 1 3 ( t - 5) + 83 > 80,{ 得 14 ≤ t < 32. 则当 12 - 2 2 < t < 32 时,p